Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) encontre a forma escada da matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e (iv) resolva o sistema (quando houver solução).
\left\{\begin{array}{r}x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-3 y+z=0 \\\\ 4 x+y-z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por eliminação de Gauss o sistema
\begin{cases} x + 2y - z = 2,\\\\ 2x - 3y + z = 0,\\\\ 4x + y - z = 4.
Em particular precisamos
(i) escrever a matriz de coeficientes A, o vetor \mathbf{b} e a matriz aumentada [A\mid\mathbf{b}],
(ii) levar [A\mid\mathbf{b}] à forma escada,
(iii) identificar as variáveis livres,
(iv) obter todas as soluções (se existirem).

Passo 2

O coeficiente de x,y,z define a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix}
O termo independente forma o vetor
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix}
Logo a matriz aumentada é
[A\mid\mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}

Passo 3

Aplicamos eliminação para zerar abaixo de a_{11}=1.
Use
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1
que transforma em
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & -7 & 3 & -4 \end{pmatrix}
Em seguida
R_3 \leftarrow R_3 - R_2
para anular toda a terceira linha, obtendo a forma escada
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Passo 4

Da forma escada vemos pivôs em colunas 1 e 2, ou seja, x e y são variáveis básicas. A variável z não aparece em pivô, portanto é livre. Denotamos
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Fazendo substituição de trás para frente:
Da segunda linha -7y + 3z = -4 segue
-7y + 3t = -4 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3t + 4}{7}.
Da primeira linha x + 2y - z = 2 vem
x + 2\!\bigl(\tfrac{3t+4}{7}\bigr) - t = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{t + 6}{7}.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{t+6}{7},\,\tfrac{3t+4}{7},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(i)
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix},\quad [A\mid\mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}.
(ii) Forma escada de [A\mid\mathbf{b}]:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
(iii) Variável livre: z.
(iv) Solução geral:
(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{t+6}{7},\,\tfrac{3t+4}{7},\,t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados