Determine os valores de a e b que tornam o sistema abaixo: consistente com solução única, consistente com infinitas soluções ou inconsistente.
\left\{\begin{aligned} x+a y+b z & =3 \\ 2 x+(2 a+1) y+(2 b+a) z & =b+6 \\ x+(a+2) y+(3 a+b) z & =3 b+3 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, em função dos parâmetros a e b, quando o sistema
\begin{cases} x + a\,y + b\,z = 3,\\\\ 2x + (2a+1)\,y + (2b+a)\,z = b+6,\\\ x + (a+2)\,y + (3a+b)\,z = 3b+3 \end{cases}
é consistente com solução única, consistente com infinitas soluções ou inconsistente.
O conteúdo é teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz de coeficientes para ver solução única; se o determinante for zero verificamos consistência pelo posto da matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes e calculamos seu determinante.
A = \begin{pmatrix} 1 & a & b\\\\ 2 & 2a+1 & 2b+a\\\\ 1 & a+2 & 3a+b \end{pmatrix}.
O determinante de A é
\det A =1\cdot\bigl((2a+1)(3a+b)-(2b+a)(a+2)\bigr) -a\cdot\bigl(2(3a+b)-(2b+a)\bigr) +b\cdot\bigl(2(a+2)-(2a+1)\bigr).
Calculando cada parte encontra-se
\det A =5a^2+a-3b -5a^2 +3b = a.

Passo 3

Se \det A\neq0, ou seja se a\neq0, o sistema tem solução única (teorema de Cramer).

Passo 4

Agora consideramos a=0\). Nesse caso \(\det A=0\) e o sistema reduz-se a \[\begin{cases} x + b\,z = 3,\\\\ 2x + y +2b\,z = b+6,\\\ x +2y + b\,z = 3b+3. \end{cases}
Da primeira equação x=3-bz\]. Substituindo na segunda: \[2(3-bz)+y+2b\,z = b+6 \quad\Longrightarrow\quad 6 -2bz +y+2bz = b+6 \quad\Longrightarrow\quad y = b.\] Substituindo \(x=3-bz e y=b na terceira:
(3-bz)+2b + b\,z = 3b+3 \quad\Longrightarrow\quad 3+2b =3b+3 \quad\Longrightarrow\quad -b=0 \quad\Longrightarrow\quad b=0.
Se a=0 e b\neq0 a última equação fica inconsistente ( -b=0 impossível), logo o sistema é inconsistente.
Se a=0 e b=0 então todas as equações se satisfazem com x=3, y=0 e z livre, gerando infinitas soluções.

Resposta

Solução única: a\neq0.
Infinitas soluções: a=0 e b=0.
Inconsistente: a=0 e b\neq0.

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