Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução). \left\{\begin{aligned} x-y+z+w & =4 \\\\ 2 x-y-z & =-3 \\\ x-2 y+w & =1 \\\\ 5 x+z-w & =5\end{aligned}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
Pede, para o sistema linear abaixo, as cinco tarefas:(i) encontrar as matrizes A\), \(\mathbf{b}\) e \([A\mid\mathbf{b}]\);
(ii) escalonar a matriz \([A\mid\mathbf{b}]\);
(iii) determinar as variáveis livres e as variáveis dependentes (ou pivôs);
(iv) classificar o sistema (inconsistente, possível e determinado, possível e indeterminado);
(v) resolver o sistema quando houver solução.
- O sistema dado é
\[\begin{cases} x - y + z + w = 4,\\[4pt] 2x - y - z = -3,\\[4pt] x - 2y + w = 1,\\[4pt] 5x + z - w = 5. \end{cases}
Variáveis incógnitas: (x,y,z,w].
Vou usar eliminação de Gauss (escalonamento por operações elementares) para responder (ii)–(v).]
Passo 2
(i) Escrever as matrizes A, \mathbf{b} e [A\mid\mathbf{b}].
(ii) Escalonamento da matriz aumentada: explicação das operações e motivo.
Objetivo: transformar [A\mid\mathbf{b}] em forma escalonada (e, para clareza, levar até a forma reduzida por linhas). Uso operações elementares de linha (somar múltiplos de linhas, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo).
Trabalhar pivô na coluna 3. Primeiro normalizar \text{R}_3 dividindo por -4: \text{R}_3 \leftarrow -\tfrac{1}{4}\text{R}_3, então \text{R}_3 = (0,0,1,\tfrac{1}{2}\mid \tfrac{7}{2}).
Essa é uma forma escalonada reduzida (portanto também escalonada). A partir daqui lemos diretamente a solução.]
Passo 4
(iii) Variáveis livres e variáveis dependentes (pivôs).
Observando a forma escalonada reduzida, as colunas 1,2,3,4 (correspondentes a x,y,z,w) são todas colunas-pivô (cada uma tem um 1 pivot em linhas distintas).
Portanto não há variáveis livres.
Todas as variáveis são dependentes (ou seja, cada uma é determinada por um pivô):
x é variável pivô (dependente),
y é pivô,
z é pivô,
w é pivô.
Passo 5
(iv) Classificação do sistema.
Como a forma escalonada não apresenta uma linha impossível do tipo (0\\\ 0\\\ 0\\\ 0 \mid c) com c\neq 0, o sistema é consistente.
Como há 4 pivôs para 4 incógnitas, existe solução única.
Classificação: sistema possível e determinado (tem exatamente uma solução).
Passo 6
(v) Resolução do sistema (leitura direta da RREF).
Da matriz final temos as equações:
\begin{aligned} x &= 0,\\[4pt] y &= -1,\\[4pt] z &= 4,\\[4pt] w &= -1. \end{aligned}