Exiba três sistemas lineares, cada um deles com uma classificação diferente (SPD, SPI e SI) e cada um com três equações e três incógnitas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: exibir três sistemas lineares, cada um com três equações e três incógnitas, onde cada sistema tenha uma classificação diferente entre:
    • SPD (Sistema Possível e Determinado) — tem exatamente uma solução;
    • SPI (Sistema Possível e Indeterminado) — tem infinitas soluções;
    • SI (Sistema Impossível) — não tem solução.
  • Condição a respeitar: cada sistema deve ter exatamente 3 equações e 3 incógnitas ( x,y,z).
  • Vou fornecer os três sistemas e, passo a passo, mostrar por que cada um tem a classificação indicada.

Passo 2

Como vou decidir a classificação (breve explicação do critério que vou usar).
  • Para sistemas lineares, usamos a matriz dos coeficientes A e a matriz augmentada [A\mid b] (onde b é o vetor dos termos independentes).
  • Definições úteis:
    • O determinante \det(A) de uma matriz 3\times3 é uma forma rápida de verificar se A é invertível. Se \det(A)\neq0, então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (SPD).
    • Se \det(A)=0, a matriz é singular e podemos ter SPI (infinitas soluções) ou SI (nenhuma solução). A distinção é feita pelos postos (ranks):
      • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<3 então SPI.
      • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) então SI.
  • Vou usar cálculo de determinante para o caso SPD e redução por linhas (linha elementares) para verificar ranks nos casos \det(A)=0. Explicarei cada passo das contas.

Passo 3

Sistema 1 — exemplo SPD (uma única solução).
Vou exibir o sistema e mostrar que \det(A)\neq0\). Sistema: \[\begin{cases} x + y + z = 6,\\[4pt] 2x - y + z = 3,\\[4pt] x + 2y - z = 2. \end{cases}
Matriz de coeficientes:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]2 & -1 & 1\\[4pt]1 & 2 & -1\end{pmatrix}.
Calcular \det(A)\] (vou usar a regra de Sarrus/expansão por primeira linha — explico cada termo): \[\det(A)=1\cdot\big((-1)\cdot(-1)-1\cdot2\big)\;-\;1\cdot\big(2\cdot(-1)-1\cdot1\big)\;+\;1\cdot\big(2\cdot2-(-1)\cdot1\big).\] Agora avalio termo a termo: - Primeiro termo: \(1\cdot(1-2)=1\cdot(-1)=-1.
- Segundo termo: -1\cdot(-2-1)=-1\cdot(-3)=3.
- Terceiro termo: 1\cdot(4-(-1))=1\cdot5=5.
Somando:
\det(A)=-1+3+5=7.
Como \det(A)=7\neq0, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução. Logo este é um sistema SPD (Sistema Possível e Determinado).
Dica rápida (teórica): quando \det(A)\neq0, a solução pode ser obtida por inversa x=A^{-1}b ou por Regra de Cramer; mas aqui só foi pedido exibir o sistema e classificá‑lo.]

Passo 4

Sistema 2 — exemplo SPI (infinitas soluções).
Vou exibir o sistema e mostrar que \det(A)=0\) e que \(\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<3\). Sistema: \[\begin{cases} x + y + z = 2,\\[4pt] 2x + 2y + 2z = 4,\\[4pt] x - y + 0z = 0. \end{cases}
Matriz de coeficientes e matriz aumentada:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt]2 & 2 & 2\\[4pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}, \qquad [A\mid b]=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 2\\[4pt]2 & 2 & 2 & 4\\[4pt]1 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Calculo \det(A)\] para confirmar que é zero (mesmo se não calculássemos, observa‑se que a segunda linha é \(2 vezes a primeira, o que indica linearidade entre linhas):
Fazendo expansão (ou observação): linhas 1 e 2 são lineares, então \det(A)=0. Vou fazer redução por linhas para determinar ranks explicitamente.
Redução por linhas em [A\mid b]:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Agora olhamos as linhas não nulas nas colunas de coeficientes: há duas linhas não nulas (a primeira e a terceira), portanto \operatorname{rank}(A)=2. No lado direito (coluna dos termos), não apareceu nenhuma linha do tipo (0\\\ 0\\\ 0\mid c) com c\neq0, então \operatorname{rank}([A\mid b])=2 também. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=2<3, o sistema tem infinitas soluções: é SPI (Sistema Possível e Indeterminado).
Interpretação prática: uma das equações é redundante (segunda é 2\times primeira), resto gera duas restrições independentes sobre três incógnitas → grau de liberdade 1 → infinitas soluções paramétricas.]

Passo 5

Sistema 3 — exemplo SI (inconsistente, sem solução).
Vou exibir o sistema e mostrar que \det(A)=0\) mas \(\operatorname{rank}([A\mid b])>\operatorname{rank}(A)\), indicando contradição. Sistema: \[\begin{cases} x + y + z = 1,\\[4pt] 2x + 2y + 2z = 5,\\[4pt] x - y + 0z = 0. \end{cases}
Observe a semelhança com o sistema do passo anterior: a segunda linha da matriz de coeficientes é 2\] vezes a primeira linha, logo a matriz de coeficientes é singular. Matriz aumentada: \[[A\mid b]=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\[4pt]2 & 2 & 2 & 5\\[4pt]1 & -1 & 0 & 0\end{pmatrix}.\] Faço redução por linhas para evidenciar a inconsistência: - \(R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
A linha R_2 ficou (0\\\ 0\\\ 0\mid 3), que representa a equação 0x+0y+0z=3, ou seja, 0=3, uma contradição. Isso significa que a coluna de termos independe das combinações lineares das colunas de coeficientes: \operatorname{rank}(A)=2 (como antes) mas \operatorname{rank}([A\mid b])=3. Como \operatorname{rank}([A\mid b])>\operatorname{rank}(A), o sistema é incompatível — não existe solução. Logo é SI (Sistema Impossível).
Comentário de ânimo: é comum ver sistemas muito parecidos onde apenas o termo independente altera a consistência — por isso sempre verifique o vetor b com cuidado nas reduções.]

Resposta

(SPD) \begin{cases} x + y + z = 6,\\[4pt] 2x - y + z = 3,\\[4pt] x + 2y - z = 2. \end{cases}
(SPI) \begin{cases} x + y + z = 2,\\[4pt] 2x + 2y + 2z = 4,\\[4pt] x - y + 0z = 0. \end{cases}
(SI) \begin{cases} x + y + z = 1,\\[4pt] 2x + 2y + 2z = 5,\\[4pt] x - y + 0z = 0. \end{cases}]

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