Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução). (\mathbf{k})\left\{\begin{aligned} x+3 y & =0 \\\\ 3 x-2 y & =0 \\\\ -x-y & =0 \\\ x+y & =0\end{aligned}\right.
que façamos: (i) identifiquemos as matrizes A, \mathbf{b} e [A\mid\mathbf{b}]; (ii) escalonemos [A\mid\mathbf{b}]; (iii) determinemos variáveis livres e dependentes; (iv) classifiquemos o sistema; (v) resolvamos (se houver solução).
Informações relevantes dadas:
Há 4 equações e 2 incógnitas (x e y).
Todos os termos independentes (lado direito) são 0.
As equações são lineares e homogêneas (termo independente igual a zero).]
Passo 2
(i) Montagem das matrizes. A matriz dos coeficientes A reúne os coeficientes de x e y nas linhas correspondentes às equações; o vetor coluna \mathbf{b} reúne os termos independentes; e [A\mid\mathbf{b}] é a matriz aumentada.
Explicação rápida (didática): representar um sistema linear por A\mathbf{x}=\mathbf{b} é padrão; A tem dimensões 4\times2 aqui, \mathbf{x}=(x,y)^T e \mathbf{b} é 4\times1. A matriz aumentada coloca \mathbf{b} ao lado de A para aplicar eliminação.]
Passo 3
(ii) Escalonamento por eliminação de Gauss (explico as operações: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra; essas operações preservam o conjunto de soluções).
Continuo escalonando para obter forma reduzida na segunda coluna. Escolho R_2 como linha-pivô da segunda coluna. Primeiro normalizo R_2 dividindo por -11:
Comentário didático: a RREF mostra pivôs (1’s) em ambas as colunas correspondentes a x e y, e linhas nulas adicionais por causa das equações redundantes. Não apareceu nenhuma linha do tipo [0\;0\mid c] com c\neq0, logo não há contradição.]
Passo 5
(iii) Variáveis livres e dependentes.
Definições rápidas: uma coluna de A é coluna-pivô se, após escalonamento, há um pivô (leading 1) nessa coluna. A variável correspondente é dependente (ou básica). Colunas sem pivô correspondem a variáveis livres.
Na RREF obtida, as duas primeiras colunas são pivôs:
Coluna 1 (correspondente a \,x\,) tem pivô.
Coluna 2 (correspondente a \,y\,) tem pivô.
Portanto:
Variáveis dependentes (básicas): \,x e \,y.
Variáveis livres: nenhuma.
Passo 6
(iv) Classificação do sistema.
Relembre: se a matriz aumentada apresenta uma linha [0\;0\mid c] com c\neq0, o sistema é inconsistente (sem solução). Caso contrário, é consistente. Se o número de pivôs (posto) iguala o número de incógnitas n, o sistema tem solução única; se o posto for menor que n, e consistente, tem infinitas soluções.
Aqui:
Não há linha contraditória, logo o sistema é consistente.
O número de pivôs é 2, que é igual ao número de incógnitas n=2.
Conclusão: o sistema é consistente e possui solução única (sistema determinado).
Verificação rápida por substituição: das primeiras duas equações originais, substituindo x=0,y=0 obtém-se 0+0=0 e 0-0=0; as demais equações também são satisfeitas. Então a solução única é (x,y)=(0,0).]