Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(\mathbf{k})\left\{\begin{aligned} x+3 y & =0 \\\\ 3 x-2 y & =0 \\\\ -x-y & =0 \\\ x+y & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede, para o sistema
\begin{cases} x+3y=0\\[4pt] 3x-2y=0\\[4pt] -x-y=0\\[4pt] x+y=0 \end{cases}
que façamos: (i) identifiquemos as matrizes A, \mathbf{b} e [A\mid\mathbf{b}]; (ii) escalonemos [A\mid\mathbf{b}]; (iii) determinemos variáveis livres e dependentes; (iv) classifiquemos o sistema; (v) resolvamos (se houver solução).
Informações relevantes dadas:
  • 4 equações e 2 incógnitas ( x e y).
  • Todos os termos independentes (lado direito) são 0.
  • As equações são lineares e homogêneas (termo independente igual a zero).]

Passo 2

(i) Montagem das matrizes. A matriz dos coeficientes A reúne os coeficientes de x e y nas linhas correspondentes às equações; o vetor coluna \mathbf{b} reúne os termos independentes; e [A\mid\mathbf{b}] é a matriz aumentada.
A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] 3 & -2\\[4pt] -1 & -1\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}, \qquad [A\mid\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 0\\[4pt] 3 & -2 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Explicação rápida (didática): representar um sistema linear por A\mathbf{x}=\mathbf{b} é padrão; A tem dimensões 4\times2 aqui, \mathbf{x}=(x,y)^T e \mathbf{b} é 4\times1. A matriz aumentada coloca \mathbf{b} ao lado de A para aplicar eliminação.]

Passo 3

(ii) Escalonamento por eliminação de Gauss (explico as operações: trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo e somar múltiplos de uma linha a outra; essas operações preservam o conjunto de soluções).
Começo com [A\mid\mathbf{b}]:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 0\\[4pt] 3 & -2 & 0\\[4pt] -1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
Usando a primeira linha como pivô para eliminar os elementos da coluna 1 nas outras linhas:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
R_2: (3,-2,0) - 3(1,3,0) = (0,-11,0).
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1:
R_3: (-1,-1,0) + (1,3,0) = (0,2,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1:
R_4: (1,1,0) - (1,3,0) = (0,-2,0).
Resultado intermediário:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & -11 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -2 & 0 \end{array}\right]]

Passo 4

Continuo escalonando para obter forma reduzida na segunda coluna. Escolho R_2 como linha-pivô da segunda coluna. Primeiro normalizo R_2 dividindo por -11:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{11}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2=(0,1,0).
Agora elimino as entradas na coluna 2 acima e abaixo do pivô:
  • R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2: (1,3,0)-3(0,1,0)=(1,0,0).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2: (0,2,0)-2(0,1,0)=(0,0,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2: (0,-2,0)+2(0,1,0)=(0,0,0).
Matriz na forma reduzida por linhas (RREF):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Comentário didático: a RREF mostra pivôs (1’s) em ambas as colunas correspondentes a x e y, e linhas nulas adicionais por causa das equações redundantes. Não apareceu nenhuma linha do tipo [0\;0\mid c] com c\neq0, logo não há contradição.]

Passo 5

(iii) Variáveis livres e dependentes.
Definições rápidas: uma coluna de A é coluna-pivô se, após escalonamento, há um pivô (leading 1) nessa coluna. A variável correspondente é dependente (ou básica). Colunas sem pivô correspondem a variáveis livres.
Na RREF obtida, as duas primeiras colunas são pivôs:
  • Coluna 1 (correspondente a \,x\,) tem pivô.
  • Coluna 2 (correspondente a \,y\,) tem pivô.
Portanto:
  • Variáveis dependentes (básicas): \,x e \,y.
  • Variáveis livres: nenhuma.

Passo 6

(iv) Classificação do sistema.
Relembre: se a matriz aumentada apresenta uma linha [0\;0\mid c] com c\neq0, o sistema é inconsistente (sem solução). Caso contrário, é consistente. Se o número de pivôs (posto) iguala o número de incógnitas n, o sistema tem solução única; se o posto for menor que n, e consistente, tem infinitas soluções.
Aqui:
  • Não há linha contraditória, logo o sistema é consistente.
  • O número de pivôs é 2, que é igual ao número de incógnitas n=2.
Conclusão: o sistema é consistente e possui solução única (sistema determinado).

Passo 7

(v) Resolução final. A RREF
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
corresponde ao sistema trivial
x=0,\qquad y=0.
Verificação rápida por substituição: das primeiras duas equações originais, substituindo x=0,y=0 obtém-se 0+0=0 e 0-0=0; as demais equações também são satisfeitas. Então a solução única é (x,y)=(0,0).]

Resposta

(i) A=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]3 & -2\\[4pt]-1 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\displaystyle\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad [A\mid\mathbf{b}]=\displaystyle\left[\begin{array}{cc|c}1 & 3 & 0\\[4pt]3 & -2 & 0\\[4pt]-1 & -1 & 0\\[4pt]1 & 1 & 0\end{array}\right]
(ii) Matriz escalonada (RREF):
\displaystyle\left[\begin{array}{cc|c}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{array}\right]
(iii) Variáveis dependentes: x,y. Variáveis livres: nenhuma.
(iv) Classificação: sistema consistente com solução única (determinado).
(v) Solução: x=0,\;y=0.]

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