Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, \mathbf{b} e [A \mid \mathbf{b}], (ii) escalone a matriz [A \mid \mathbf{b}], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução). \left\{\begin{aligned} x+y+z-w & =2 \\\\ 2 x-y-z-w & =-1 \\\ x-2 y-2 z-3 & =-3 \\\\ 3 x-3 y-3 z-w & =-4\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear abaixo (vou reescrever as equações exatamente como dadas):
O que é pedido:
(i) encontrar as matrizes A, \mathbf{b} e [A\mid \mathbf{b}];
(ii) escalonar a matriz [A\mid \mathbf{b}] (mostrar o processo);
(iii) determinar as variáveis livres e as variáveis dependentes;
(iv) classificar o sistema (compatível/incompatível, determinado/indeterminado);
(v) resolver o sistema quando houver solução (dar a família de soluções se for indeterminado).
Vou usar eliminação de Gauss (operações elementares por linhas) para escalonar e resolver. Não começo a calcular ainda; só organizei o que o problema dá e o que se pede.]
Passo 2
(i) Primeiro escrevo a matriz de coeficientes A, o vetor coluna \mathbf{b} e a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}]. Coloco cada número em notação matricial.
(ii) Explico rapidamente as operações elementares de linha que vou usar (conceito):
R_i \leftrightarrow R_j troca de duas linhas;
kR_i multiplicar uma linha por escalar k\neq0;
R_i + kR_j substituir R_i por R_i + kR_j.
O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada (triangular superior), isto facilita identificar pivôs e resolver por substituição.
Agora começo a escalonar. Vou usar R_1 como linha-pivô inicial (já tem 1 no primeiro elemento).
Operação 1: zerar as entradas abaixo do pivô a_{11}=1.
Esta é uma forma escalonada (não necessariamente reduzida). Note que a terceira linha tem pivô na coluna 4 (o coeficiente de w).]
Passo 5
Posso simplificar sinais para ficar mais claro (operação opcional, para facilitar interpretação). Multiplico R_2 por -\tfrac{1}{3} e R_3 por -1 para obter pivôs iguais a 1 (isso é útil para leitura, não altera o conjunto solução).
Esta é uma forma escalonada mais legível (quase RREF). A partir daqui já dá para identificar pivôs e variáveis livres.]
Passo 6
(iii) Identificação de variáveis livres e dependentes:
As colunas que têm pivô são as colunas 1 (para x), 2 (para y) e 4 (para w). Assim x,y,w são variáveis dependentes (estão associadas a pivôs).
A coluna 3 (para z) não tem pivô, portanto z é variável livre.
Explicando com calma (didática): pivô em uma coluna significa que essa variável pode ser resolvida em função das outras; ausência de pivô significa liberdade para escolher um parâmetro para essa variável.
Passo 7
(iv) Classificação do sistema:
Para verificar compatibilidade, procuro linhas do tipo (0\,0\,0\,0\mid c) com c\neq0. Aqui a quarta linha é (0\,0\,0\,0\mid 0), ou seja, nenhuma contradição aparece. Logo o sistema é compatível.
O posto (rank) da matriz aumentada é o número de linhas não nulas na forma escalonada: há 3 linhas não nulas, então \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}])=3. Como o número de incógnitas é 4, e o posto é 3<4, o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções), com uma liberdade (uma variável livre).
Passo 8
(v) Resolver o sistema (retorno por substituição). Vou escrever as equações correspondentes às linhas escalonadas finais (antes das multiplicações por escalares já usadas):
Da linha 3 (após multiplicar por -1\) we have): \(\;1\cdot w = 0\). Logo
\[w=0.
Da linha 2 (após tornar pivô igual a 1): \;y + z -\dfrac{1}{3}w = \dfrac{5}{3}. Substituindo w=0:
y + z = \dfrac{5}{3}.
Daqui isolamos y em função de z:
y = \dfrac{5}{3} - z.
Da linha 1: x + y + z - w = 2. Substituindo w=0 e a expressão de y:
x + \left(\dfrac{5}{3}-z\right) + z = 2 \quad\Rightarrow\quad x + \dfrac{5}{3} = 2.
Portanto
x = 2 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{3}.
Observação importante: x ficou fixo e independe do valor de z; y depende de z; w é zero; z é livre.
Agora introduzo um parâmetro para a variável livre z. Seja z=t com t\in\mathbb{R}. Então a solução geral é
Interpretação: família de soluções com um parâmetro livre t\]. Um exemplo particular (tomando \(t=0) é \left(\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3},0,0\right).]
Passo 9
Resumo final e comentário de incentivo: o sistema tem posto 3, uma variável livre (z), e portanto infinitas soluções descritas acima. Boa notícia: apesar de parecer um sistema 4×4 complicado, a eliminação mostrou rapidamente que só há uma liberdade — basta escolher z e tudo o mais fica determinado.