Determine, se existir, uma função polinomial
de grau dois que satisfaz
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, se existir, um polinômio de grau dois
tal que os valores são:
Lista das informações relevantes:
- Queremos
polinomial de grau dois (isto é, da forma com ). - Temos quatro condições de valor em pontos distintos: em
.
O objetivo é achar coeficientesque satisfaçam todas as quatro igualdades simultaneamente, ou concluir que isso é impossível.
Passo 2
Modelagem: escrevemos a forma geral do polinômio de grau dois e traduzimos cada condição em uma equação linear para
.
Das condições:
Passo 3
Resolva as duas primeiras equações para eliminar variáveis passo a passo.
Das duas primeiras:
Das duas primeiras:
Subtraindo a segunda da primeira:
Expliquei: subtração de equações elimina
e
e isola
.
Passo 4
Com
, use uma das equações para relacionar
e
. Pela equação
:
Expliquei: substituição direta, método básico de resolução de sistemas lineares.
Passo 5
Use a equação de
para determinar
. A equação é
. Substituindo
e
:
Então
e
. Isso dá o polinômio
que é o polinômio constante
. Observação importante: esse polinômio tem grau
, não grau
.
Passo 6
Verificação final com a condição em
. Para o polinômio encontrado
,
logo as quatro condições não são satisfeitas simultaneamente. Podemos também ver a contradição diretamente: subtraindo a equação para
da equação para
obtém-se
o que contradiz
encontrado antes. Conclusão: o sistema linear para
é incompatível quando exigimos todas as quatro igualdades.
Resposta
Não existe polinômio de grau dois que satisfaça simultaneamente
e
.