Determine, se existir, uma função polinomial f de grau dois que satisfaz f(-1)=f(1)=f(2)=2 e f(-2)=3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, um polinômio de grau dois f tal que os valores são:
f(-1)=2,\qquad f(1)=2,\qquad f(2)=2,\qquad f(-2)=3.
Lista das informações relevantes:
  • Queremos f(x) polinomial de grau dois (isto é, da forma ax^{2}+bx+c com a\neq0).
  • Temos quatro condições de valor em pontos distintos: em x=-1,1,2,-2.
    O objetivo é achar coeficientes a,b,c que satisfaçam todas as quatro igualdades simultaneamente, ou concluir que isso é impossível.

Passo 2

Modelagem: escrevemos a forma geral do polinômio de grau dois e traduzimos cada condição em uma equação linear para a,b,c.
f(x)=ax^{2}+bx+c.
Das condições:
\begin{aligned} f(-1)=2 &\Rightarrow a(-1)^{2}+b(-1)+c=a-b+c=2,\\\ f(1)=2 &\Rightarrow a(1)^{2}+b(1)+c=a+b+c=2,\\\ f(2)=2 &\Rightarrow a(2)^{2}+b(2)+c=4a+2b+c=2,\\\ f(-2)=3 &\Rightarrow a(-2)^{2}+b(-2)+c=4a-2b+c=3. \end{aligned}

Passo 3

Resolva as duas primeiras equações para eliminar variáveis passo a passo.
Das duas primeiras:
a+b+c=2\quad\text{e}\quad a-b+c=2.
Subtraindo a segunda da primeira:
(a+b+c)-(a-b+c)=2-2 \Rightarrow 2b=0 \Rightarrow b=0.
Expliquei: subtração de equações elimina a e c e isola b.

Passo 4

Com b=0, use uma das equações para relacionar a e c. Pela equação a+b+c=2:
a+0+c=2 \Rightarrow c=2-a.
Expliquei: substituição direta, método básico de resolução de sistemas lineares.

Passo 5

Use a equação de x=2 para determinar a. A equação é 4a+2b+c=2. Substituindo b=0 e c=2-a:
4a+0+(2-a)=2 \Rightarrow 3a+2=2 \Rightarrow 3a=0 \Rightarrow a=0.
Então a=0 e c=2-a=2. Isso dá o polinômio
f(x)=0\cdot x^{2}+0\cdot x+2=2,
que é o polinômio constante f(x)=2. Observação importante: esse polinômio tem grau 0, não grau 2.

Passo 6

Verificação final com a condição em x=-2. Para o polinômio encontrado f(x)=2,
f(-2)=2\neq3,
logo as quatro condições não são satisfeitas simultaneamente. Podemos também ver a contradição diretamente: subtraindo a equação para x=-2 da equação para x=2 obtém-se
(4a+2b+c)-(4a-2b+c)=2-3 \Rightarrow 4b=-1 \Rightarrow b=-\tfrac{1}{4},
o que contradiz b=0 encontrado antes. Conclusão: o sistema linear para a,b,c é incompatível quando exigimos todas as quatro igualdades.

Resposta

Não existe polinômio de grau dois que satisfaça simultaneamente f(-1)=f(1)=f(2)=2 e f(-2)=3.

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