Para cada um dos sistemas lineares homogêneos abaixo, determine uma base e a dimensão do conjunto solução.
\left{ l2 x-2 y+z=0 3 x-y+3 z=0 x-3 y-z=0\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas
2x - 2y + z = 0, 3x - y + 3z = 0, x - 3y - z = 0,
e pede uma base e a dimensão do espaço das soluções. O conteúdo aqui é encontrar o núcleo de uma matriz de coeficientes usando eliminação de Gauss e depois ler a parametrização do espaço solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos eliminação de Gauss:
[ccc|c 2 & -2 & 1 & 0 3 & -1 & 3 & 0 1 & -3 & -1 & 0 ]
Troque R 1 por R 3 para ter 1 como pivô:
[ccc|c 1 & -3 & -1 & 0 3 & -1 & 3 & 0 2 & -2 & 1 & 0 ]
Elimine abaixo do pivô em coluna 1:
R2 R2 - 3 cdot R1 e R3 R3 - 2 cdot R1:
[ccc|c 1 & -3 & -1 & 0 0 & 8 & 6 & 0 0 & 4 & 3 & 0 ]
Agora elimine abaixo do pivô em coluna 2:
R3 R3 - 12 cdot R2:
[ccc|c 1 & -3 & -1 & 0 0 & 8 & 6 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Das duas primeiras linhas lemos as equações:
x - 3y - z = 0, 8y + 6z = 0
Da segunda vem 8y +6z=0, logo
y = -tfrac34,z
Escolhendo z=t como parâmetro livre, obtemos
y = -tfrac34t, x = 3y + z = 3l(-tfrac34tr) + t = -tfrac94t + t = -tfrac54t

Passo 4

Escrevendo o vetor solução em função de t:
(x,y,z) = tl(-tfrac54,,-tfrac34,,1r) = tcdot14,(-5,-3,4)
Logo o espaço solução é a reta gerada por (-5,-3,4), ou equivalentemente por (5,3,-4).

Resposta

Uma base do conjunto solução é
(5,3,-4),
e a dimensão desse espaço é dim=1.

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