Para cada um dos sistemas lineares homogêneos abaixo, determine uma base e a dimensão do conjunto solução.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado dá um sistema homogêneo de
equações em
incógnitas
e pede a base e a dimensão do espaço solução. Vamos usar conceitos de sistemas lineares homogêneos, eliminação de Gauss (ou substituição) e espaço nulo de uma matriz para encontrar a forma paramétrica da solução.
Passo 2
Da terceira equação
isolamos
:
Substituindo em
obtém-se
Passo 3
A equação anterior vira
Substituindo
e
na primeira equação
verificamos que ela se reduz à mesma relação
, ou seja, é redundante. Isso indica que o posto do sistema é
.
Passo 4
Como restaram duas variáveis livres, escolhemos
Usando
e
a solução geral fica
Passo 5
Separando em combinação linear,
Logo, uma base do espaço solução é
e a dimensão desse espaço é
.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: