Para cada um dos sistemas lineares homogêneos abaixo, determine uma base e a dimensão do conjunto solução.
\left{ l5 x+10 y-8 z+11 t=0 2 x+4 y-3 z+4 t=0 x+2 y-2 z+3 t=0\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de 3 equações em 4 incógnitas (x,y,z,t) e pede a base e a dimensão do espaço solução. Vamos usar conceitos de sistemas lineares homogêneos, eliminação de Gauss (ou substituição) e espaço nulo de uma matriz para encontrar a forma paramétrica da solução.

Passo 2

Da terceira equação
x + 2y - 2z + 3t = 0
isolamos x:
x = -2y + 2z - 3t
Substituindo em
2x + 4y - 3z + 4t = 0
obtém-se
2(-2y+2z-3t) + 4y - 3z + 4t = 0

Passo 3

A equação anterior vira
-4y + 4z - 6t + 4y - 3z + 4t = 0 Longrightarrow z - 2t = 0 Longrightarrow z = 2t
Substituindo x=-2y+2z-3t e z=2t na primeira equação
5x + 10y - 8z + 11t = 0
verificamos que ela se reduz à mesma relação 2z - 4t = 0, ou seja, é redundante. Isso indica que o posto do sistema é 2.

Passo 4

Como restaram duas variáveis livres, escolhemos
y = s, t = r
Usando z = 2r e
x = -2s + 2z - 3r = -2s + 2(2r) - 3r = -2s + r,
a solução geral fica
(x,y,z,t) = ( -2s + r, s, 2r, r )

Passo 5

Separando em combinação linear,
(x,y,z,t) = s,(-2,1,0,0) + r,(1,0,2,1)
Logo, uma base do espaço solução é
,(-2,1,0,0), (1,0,2,1),
e a dimensão desse espaço é ,2.

Resposta

Base: (-2,1,0,0),,(1,0,2,1)
Dimensão: 2

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