Considere o seguinte subconjunto de R^4 :
W=(x, y, z, t) : x-2 y=0 e x-3 y+t=0
(a) Mostre que W é um subespaço vetorial de R^4.
(b) Determine uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define
W = (x,y,z,t)inR^4 : x - 2y = 0 e x - 3y + t = 0
O conteúdo é espaço vetorial, então precisamos mostrar que (a) W é fechado sob combinação linear e contém o vetor zero, e que (b) encontrar uma base e, a partir dela, a dimensão de W.

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço de R^4, note que o vetor zero (0,0,0,0) satisfaz
0 - 2cdot0 = 0 e 0 - 3cdot0 + 0 = 0,
então 0in W. Agora, sejam u=(x,y,z,t) e v=(x',y',z',t') em W, e alpha,betainR. Consideremos
w = alphau + betav = (alpha x + beta x',,alpha y + beta y',,alpha z + beta z',,alpha t + beta t').
Como u,vin W, temos
x - 2y = 0,;x'-2y'=0, x-3y+t=0,;x'-3y'+t'=0
Logo,
(alpha x + beta x') - 2(alpha y + beta y') = alpha(x-2y) + beta(x'-2y') = 0,
(alpha x + beta x') - 3(alpha y + beta y') + (alpha t + beta t') = alpha(x-3y+t) + beta(x'-3y'+t') = 0
Portanto win W. Concluímos que W é subespaço vetorial de R^4.

Passo 3

Para determinar uma base de W, resolvemos as equações
x - 2y = 0 Longrightarrow x = 2y,
x - 3y + t = 0 Longrightarrow 2y - 3y + t = 0 Longrightarrow t = y
A variável z fica livre. Logo, seja y = s e z = u, com s,uinR. Então
(x,y,z,t) = (2s,,s,,u,,s) = s,(2,1,0,1) + u,(0,0,1,0)

Passo 4

Os vetores (2,1,0,1) e (0,0,1,0) geram W e são linearmente independentes (pois um não é múltiplo escalar do outro). Portanto eles formam uma base de W e o número de vetores dessa base é a dimensão de W:

Resposta

(a) W é subespaço vetorial de R^4.
(b) Uma base de W é (2,1,0,1),,(0,0,1,0) e dim W = 2.

Exercícios relacionados