Considere o seguinte subconjunto de
:
(a) Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
(b) Determine uma base e a dimensão de
.
(b) Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo é espaço vetorial, então precisamos mostrar que (a)
é fechado sob combinação linear e contém o vetor zero, e que (b) encontrar uma base e, a partir dela, a dimensão de
.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço de
, note que o vetor zero
satisfaz
então
. Agora, sejam
e
em
, e
. Consideremos
.
Como , temos
Como
Logo,
Portanto
. Concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Passo 3
Para determinar uma base de
, resolvemos as equações
A variável
fica livre. Logo, seja
e
, com
. Então
Passo 4
Os vetores
e
geram
e são linearmente independentes (pois um não é múltiplo escalar do outro). Portanto eles formam uma base de
e o número de vetores dessa base é a dimensão de
:
Resposta
(a)
é subespaço vetorial de
.
(b) Uma base de é
e
.
(b) Uma base de