O enunciado nos pede para encontrar uma base de que contenha os vetores e . Vamos usar o conceito de base (conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o espaço) e completar esses dois vetores até formar um conjunto de três vetores independentes em .
Passo 2
Mostramos que
Isso gera o sistema
Da última equação segue . Logo os dois vetores são independentes.
Passo 3
Para completar a base, basta escolher um vetor que não esteja no plano gerado pelos dois primeiros. Note que qualquer combinação linear de (1,1,0) e (1,2,3) tem terceira componente múltipla de 3. Portanto, o vetor (0,0,1), cuja terceira componente é 1, não pode ser obtido por essa combinação, garantindo independência.
Passo 4
Verificamos que o conjunto (1,1,0),(1,2,3),(0,0,1) é linearmente independente. De fato, em
c1(1,1,0)+c2(1,2,3)+c3(0,0,1)=(0,0,0),
olhando a componente z vem 3c2+c3=0. Se c3=-3c2, voltamos às componentes x,y e obtemos c1=c2=0, logo c3=0. Assim são independentes e geram R^3.