Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
(k)rr4 a+5 b+7 c= & 1 -a-b-c= & 2 3 a+4 b+6 c= & 3 -a+b+7 c= & -11 2 a+5 b+13 c= & -8

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com cinco equações e três incógnitas (a,b,c). O que vamos usar aqui é eliminação gaussiana para determinar o posto da matriz dos coeficientes e do sistema ampliado, assim verificamos existência e, em caso afirmativo, se a solução é única.

Passo 2

Escolhemos a equação
-a - b - c = 2
e multiplicamos por -1, obtendo o pivô
a + b + c = -2
Denotemos esta como a nova equação (I) e reescrevamos as demais como (II)–(V):
(I)&a + b + c = -2, (II)&4a + 5b + 7c = 1, (III)&3a + 4b + 6c = 3, (IV)&-a + b + 7c = -11, (V)&2a + 5b + 13c = -8

Passo 3

Eliminamos a em (II)–(V) usando (I):
(II)-4times(I)&:;b + 3c = 1 -4(-2)=9, (III)-3times(I)&:;b + 3c = 3 -3(-2)=9, (IV)+(I)&:;2b +8c = -11 +(-2)=-13, (V)-2times(I)&:;3b +11c = -8 -2(-2)=-4
Fica o sistema reduzido
b + 3c = 9, b + 3c = 9, 2b +8c = -13, 3b +11c = -4

Passo 4

Note que a segunda linha é repetida da primeira, ou seja, há redundância. Usamos as duas primeiras equações independentes:
b + 3c = 9, 2b +8c = -13

Passo 5

Da primeira obtemos b = 9 - 3c. Substituindo na segunda:
2(9-3c) + 8c = -13 Longrightarrow 18 -6c +8c = -13 Longrightarrow 2c = -31 Longrightarrow c = -tfrac312
Logo
b = 9 - 3l(-tfrac312r) = 9 + tfrac932 = tfrac1112
A terceira equação reduzida 3b+11c=-4 é satisfeita, então o sistema é consistente até aqui.

Passo 6

Finalmente, voltamos à equação pivô (I):
a + b + c = -2 Longrightarrow a = -2 - b - c = -2 - tfrac1112 - l(-tfrac312r) = -42

Resposta

O sistema é compatível determinado (posto da matriz dos coeficientes e do ampliado é 3) e possui solução única
(a,b,c) = l(-42,;tfrac1112,;-tfrac312r)

Exercícios relacionados