Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
d yd x+y=11+e^x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
dydx + y = 11+e^x
O conteúdo é solução de equação linear pelo fator integrante. Vamos identificar P(x)=1 e Q(x)=1/(1+e^x) e usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) definido por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) =expl(integral 1,dxr) =e^x
Multiplicando a equação original por mu(x)=e^x obtemos
e^xdydx + e^x y = e^x1+e^x

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto y,e^x:
ddxl(y,e^xr) = e^xdydx + e^x y
Portanto a equação fica
ddxl(y,e^xr) = e^x1+e^x
Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^x = integral e^x1+e^x,dx + C

Passo 4

Para a integral do lado direito, fazemos a substituição u=1+e^x, du=e^x,dx. Então
integral e^x1+e^x,dx = integral 1u,du = lnl(1+e^xr)
Isso dá
y,e^x = lnl(1+e^xr) + C
Isolando y,
y(x) = e^-x,lnl(1+e^xr) + C,e^-x

Resposta

A solução geral é
y(x) = e^-x,lnl(1+e^xr) + C,e^-x,
onde C é uma constante arbitrária.
Se houver condição inicial y(x0)=y0, basta impor
y0 = e^-x0lnl(1+e^x0r) + C,e^-x0
e resolver para C:
C = e^x0,y0 - lnl(1+e^x0r)

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