Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
O conteúdo é solução de equação linear pelo fator integrante. Vamos identificar
e
e usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
definido por
Multiplicando a equação original por
obtemos
Passo 3
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Portanto a equação fica
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Para a integral do lado direito, fazemos a substituição
,
. Então
Isso dá
Isolando
,
Resposta
A solução geral é
onde
é uma constante arbitrária.
Se houver condição inicial
, basta impor
e resolver para
: