Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o sistema definido por
e determinar se ele é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para resolver isso, vamos precisar entender cada um desses conceitos:
- Causalidade: Verifica se a saída do sistema depende apenas do presente e do passado dos sinais de entrada.
- Linearidade: Verifica se o sistema satisfaz os princípios de superposição e homogeneidade.
- Invariância no Tempo: Verifica se as propriedades do sistema mudam com o tempo.
- Estabilidade: Verifica se um sinal de entrada limitado gera uma saída também limitada.
Vamos analisar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Causalidade
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante
depende apenas de valores da entrada em tempos
ou anteriores. No nosso caso:
Aqui, a saída em
depende de
, que é uma entrada passada. Não há dependência de valores futuros. Portanto, o sistema é causal.
Passo 3
Linearidade
Para verificar a linearidade, precisamos ver se o sistema respeita os princípios de superposição e homogeneidade.
- Superposição: Se
e , então:
- Homogeneidade: Para qualquer escalar
:
Como ambas as condições são satisfeitas, o sistema é linear.
Passo 4
Invariância no Tempo
Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no tempo da entrada resulta em um deslocamento igual na saída. Vamos testar isso.
Se deslocarmos a entrada em
unidades de tempo:
Aplicando o sistema:
Por outro lado, se deslocarmos a saída:
Como
, o sistema é invariante no tempo.
Passo 5
Estabilidade
Um sistema é estável no sentido de BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se toda entrada limitada gera uma saída também limitada.
Seja
para algum
. Então:
Isso mostra que a saída também está limitada por
. Portanto, o sistema é estável.
Resposta
O sistema
é causal, linear, invariante no tempo e estável.