Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=x[n-1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o sistema definido por e determinar se ele é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para resolver isso, vamos precisar entender cada um desses conceitos:
  1. Causalidade: Verifica se a saída do sistema depende apenas do presente e do passado dos sinais de entrada.
  2. Linearidade: Verifica se o sistema satisfaz os princípios de superposição e homogeneidade.
  3. Invariância no Tempo: Verifica se as propriedades do sistema mudam com o tempo.
  4. Estabilidade: Verifica se um sinal de entrada limitado gera uma saída também limitada.
Vamos analisar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Causalidade
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante Hx[n] = x[n-1] depende apenas de valores da entrada em tempos ou anteriores. No nosso caso:
Aqui, a saída em depende de , que é uma entrada passada. Não há dependência de valores futuros. Portanto, o sistema é causal.

Passo 3

Linearidade
Para verificar a linearidade, precisamos ver se o sistema respeita os princípios de superposição e homogeneidade.
  1. Superposição: Se Hx1[n] + x2[n] = (x1 + x2)[n-1] = x1[n-1] + x2[n-1] = Hx1[n] + Hx2[n] e Ha cdot x[n] = (a cdot x)[n-1] = a cdot x[n-1] = a cdot Hx[n] , então:
  1. Homogeneidade: Para qualquer escalar :
Como ambas as condições são satisfeitas, o sistema é linear.

Passo 4

Invariância no Tempo
Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no tempo da entrada resulta em um deslocamento igual na saída. Vamos testar isso.
Se deslocarmos a entrada em xd[n] = x[n - k] unidades de tempo:
Hxd[n] = xd[n-1] = x[(n-1) - k] = x[n - (k + 1)]
Aplicando o sistema:
Hx[n][n - k] = x[n - k -1]
Por outro lado, se deslocarmos a saída:
Como , o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Estabilidade
Um sistema é estável no sentido de BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se toda entrada limitada gera uma saída também limitada.
Seja |Hx[n]| = |x[n-1]| <= M para algum . Então:
Isso mostra que a saída também está limitada por . Portanto, o sistema é estável.

Resposta

O sistema é causal, linear, invariante no tempo e estável.

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