Determine se os sinais x[n] a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
x[n]=cos n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, também precisamos encontrar o seu período. Para isso, vamos precisar entender o que é um sinal periódico e como identificar o período de um sinal trigonométrico discreto.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que significa um sinal ser periódico. Um sinal discreto x[n + N] = x[n] para todo n in Z é dito ser periódico se existir um inteiro positivo tal que:
Esse é chamado de período do sinal. Ou seja, o sinal se repete a cada amostras.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal . Para determinar se ele é periódico, precisamos encontrar um inteiro positivo que satisfaça a condição acima.
Sabemos que a função cosseno é periódica, mas como estamos trabalhando com sinais discretos, a análise é um pouco diferente da contínua. No caso discreto, a periodicidade depende da relação entre os argumentos da função trigonométrica e .

Passo 4

Vamos considerar o argumento da função cosseno no nosso sinal discreto:
cos(n) = cos(n cdot 1)
Aqui, o “1” está relacionado à frequência angular do sinal. Para que cos(n + N) = cos(n) para todo n seja periódico, deve existir um N cdot 1 = 2pi k onde k é um inteiro positivo tal que:
N = 2pi k
Isso acontece se for tal que:
é
Então,

Passo 5

Agora, precisamos que seja um número inteiro, já que estamos lidando com sinais discretos. Mas, não é um número inteiro, e multiplicar por qualquer inteiro também não dá um número inteiro. Isso significa que não existe um inteiro que satisfaça a condição acima.

Passo 6

Como não conseguimos encontrar um período inteiro que faça se repetir a cada amostras, concluímos que o sinal não é periódico.

Resposta

O sinal não é periódico.

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