Determine se os sinais
a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o sinal
é periódico ou não. Se for periódico, também precisamos encontrar o seu período. Para isso, vamos precisar entender o que é um sinal periódico e como identificar o período de um sinal trigonométrico discreto.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que significa um sinal ser periódico. Um sinal discreto
é dito ser periódico se existir um inteiro positivo
tal que:
Esse
é chamado de período do sinal. Ou seja, o sinal se repete a cada
amostras.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal
. Para determinar se ele é periódico, precisamos encontrar um
inteiro positivo que satisfaça a condição acima.
Sabemos que a função cosseno é periódica, mas como estamos trabalhando com sinais discretos, a análise é um pouco diferente da contínua. No caso discreto, a periodicidade depende da relação entre os argumentos da função trigonométrica e
.
Passo 4
Vamos considerar o argumento da função cosseno no nosso sinal discreto:
Aqui, o “1” está relacionado à frequência angular do sinal. Para que
seja periódico, deve existir um
tal que:
Isso acontece se
for tal que:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos que
seja um número inteiro, já que estamos lidando com sinais discretos. Mas,
não é um número inteiro, e multiplicar
por qualquer inteiro
também não dá um número inteiro. Isso significa que não existe um
inteiro que satisfaça a condição acima.
Passo 6
Como não conseguimos encontrar um período
inteiro que faça
se repetir a cada
amostras, concluímos que o sinal
não é periódico.
Resposta
O sinal
não é periódico.