Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=a x[n]+b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar um sistema definido por e determinar se ele é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa na teoria de sistemas.

Passo 2

Primeiro, causalidade. Um sistema é causal se sua saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, nunca do futuro. No nosso sistema , a saída em depende apenas de e de uma constante , que não depende de valores futuros. Portanto, nosso sistema é causal.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios de aditividade e homogeneidade. Isso significa que Hx1[n] + x2[n] = a (x1[n] + x2[n]) + b = a x1[n] + a x2[n] + b e Hx1[n] + Hx2[n] = (a x1[n] + b) + (a x2[n] + b) = a x1[n] + a x2[n] + 2b para qualquer constante . No nosso caso:
Como , o sistema não satisfaça a aditividade. Portanto, o sistema não é linear.

Passo 4

Vamos ver se o sistema é invariante no tempo. Isso significa que se a entrada for atrasada no tempo, a saída também deve ser atrasada pelo mesmo tempo. Suponha que temos uma entrada Hx[n - n0] = a x[n - n0] + b , então:
A saída original era , e agora é . A constante não é afetada pelo atraso, o que significa que o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Por último, vamos verificar a estabilidade. Um sistema é estável se, para todas as entradas limitadas |Hx[n]| = |a x[n] + b| <= |a| |x[n]| + |b| , as saídas também são limitadas. No nosso sistema:
Se é limitado e e são constantes finitas, então também será limitado. Logo, o sistema é estável.

Resposta

O sistema é:
  • Causal
  • Não linear
  • Não invariante no tempo
  • Estável

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