Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar um sistema definido por
e determinar se ele é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para isso, vamos precisar entender o que cada uma dessas propriedades significa na teoria de sistemas.
Passo 2
Primeiro, causalidade. Um sistema é causal se sua saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, nunca do futuro. No nosso sistema
, a saída em
depende apenas de
e de uma constante
, que não depende de valores futuros. Portanto, nosso sistema é causal.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre linearidade. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios de aditividade e homogeneidade. Isso significa que
e
para qualquer constante
. No nosso caso:
Como
, o sistema não satisfaça a aditividade. Portanto, o sistema não é linear.
Passo 4
Vamos ver se o sistema é invariante no tempo. Isso significa que se a entrada for atrasada no tempo, a saída também deve ser atrasada pelo mesmo tempo. Suponha que temos uma entrada
, então:
A saída original era
, e agora é
. A constante
não é afetada pelo atraso, o que significa que o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
Por último, vamos verificar a estabilidade. Um sistema é estável se, para todas as entradas limitadas
, as saídas também são limitadas. No nosso sistema:
Se
é limitado e
e
são constantes finitas, então
também será limitado. Logo, o sistema é estável.
Resposta
O sistema
é:
- Causal
- Não linear
- Não invariante no tempo
- Estável