Determine se os sinais
a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o sinal
é periódico ou não. Se for periódico, também vamos achar o seu período. Pra isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos em processamento digital e umas fórmulas trigonométricas pra facilitar a nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica útil:
. Isso vai ajudar a simplificar nosso sinal. Aplicando isso no nosso caso:
Então, nosso sinal agora está escrito como uma constante mais uma componente cossenoidal.
Passo 3
Agora, para saber se
é periódico, precisamos ver se tanto a parte constante quanto a parte cossenoidal são periódicas, e se elas têm um período comum. A parte constante
é trivialmente periódica com qualquer período, então vamos focar na parte
.
Passo 4
Para o cosseno ser periódico em tempo discreto, é necessário que a razão entre a frequência angular
e
seja uma razão racional
. No nosso caso,
, então temos:
Como
é uma fração racional, sabemos que o cosseno é periódico.
Passo 5
Agora, para achar o período
, usamos a relação:
Onde
é o menor inteiro positivo que satisfaz a equação. Substituindo:
O menor
positivo acontece quando
, então
.
Resposta
O sinal
é periódico com período
.