Determine se os sinais x[n] a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
x[n]=cos ^2(pi8 n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, também vamos achar o seu período. Pra isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos em processamento digital e umas fórmulas trigonométricas pra facilitar a nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma identidade trigonométrica útil: x[n] = 1 + cos(2 cdot pi8 n)2 = 1 + cos(pi4 n)2 . Isso vai ajudar a simplificar nosso sinal. Aplicando isso no nosso caso:
Então, nosso sinal agora está escrito como uma constante mais uma componente cossenoidal.

Passo 3

Agora, para saber se é periódico, precisamos ver se tanto a parte constante quanto a parte cossenoidal são periódicas, e se elas têm um período comum. A parte constante é trivialmente periódica com qualquer período, então vamos focar na parte .

Passo 4

Para o cosseno ser periódico em tempo discreto, é necessário que a razão entre a frequência angular omega2pi = pi42pi = 18 e seja uma razão racional . No nosso caso, , então temos:
Como é uma fração racional, sabemos que o cosseno é periódico.

Passo 5

Agora, para achar o período omega N = 2pi k , usamos a relação:
pi4 N = 2pi k Rightarrow N = 8k
Onde é o menor inteiro positivo que satisfaz a equação. Substituindo:
O menor positivo acontece quando , então .

Resposta

O sinal é periódico com período .

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