Determine se os sinais x[n] a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
x[n]=cos (3 pi4 n+pi8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, também precisamos encontrar o período desse sinal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos na área de processamento de sinais, especialmente focando na periodicidade de sinais discretos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sinal ser periódico. Um sinal discreto x[n + N] = x[n] para todo n é periódico se existe um inteiro positivo omega N = 2pi k tal que:
No caso de um sinal do tipo , o sinal será periódico se a frequência angular for uma fração racional de . Ou seja, existe um inteiro tal que:
onde é um número inteiro.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso sinal:
omega = 3pi4
Precisamos encontrar o menor inteiro 3pi4 N = 2pi k que satisfaz:
34 N = 2k
Simplificando a equação:
N = 8k3
Para que seja inteiro, deve ser inteiro. Isso acontece quando é múltiplo de 3. O menor valor de que satisfaz isso é .

Passo 4

Substituindo N = 8 times 33 = 8 na equação de :
Portanto, o menor período que satisfaz a condição é 8.

Resposta

O sinal é periódico e seu período é .

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