Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=1n x[n]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o sistema para ver se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável. Isso faz parte da matéria de Sistemas e Sinais, onde a gente estuda como esses sistemas respondem aos sinais de entrada. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades e verificar se o sistema dado as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o sistema é causal. Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores atuais e passados da entrada, ou seja, para . No nosso caso, a saída é , que depende apenas do valor atual de . Não tem nada do futuro envolvido, então o sistema é causal.

Passo 3

Agora, vamos checar a linearidade do sistema. Um sistema é linear se ele satisfaz os princípios de superposição e homogeneidade. Isso significa que se tivermos duas entradas Ha x1[n] + b x2[n] = 1n (a x1[n] + b x2[n]) = a ( 1n x1[n] ) + b ( 1n x2[n] ) e , e constantes e , então .
Vamos aplicar isso:
Isso mostra que o sistema satisfaz a superposição e a homogeneidade, então ele é linear.

Passo 4

Vamos ver se o sistema é invariante com o tempo. Isso quer dizer que se a entrada for deslocada no tempo, a saída também será deslocada da mesma forma. Matematicamente, se Hx[n - n0] = 1n x[n - n0] para algum deslocamento y[n - n0] = 1n - n0 x[n - n0] , então o sistema é invariante no tempo.
Vamos testar:
Agora, vamos deslocar a saída:
Para ser invariante com o tempo, precisaríamos que , o que só é verdadeiro se ou se tende ao infinito. Como isso não é geral, o sistema não é invariante com o tempo.

Passo 5

Por último, vamos verificar a estabilidade do sistema. Um sistema é estável no sentido de BIBO (Bounded Input, Bounded Output) se toda entrada limitada gera uma saída limitada. Ou seja, se |y[n]| = | 1n x[n] | <= 1|n| M para algum , então para algum .
No nosso sistema:
Aqui, se tende a zero, tende ao infinito, o que faz com que possa se tornar ilimitado mesmo que seja limitado. Portanto, o sistema não é estável.

Resposta

O sistema é:
  • Causal: Sim
  • Linear: Sim
  • Invariante com o tempo: Não
  • Estável: Não

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