Determine se os sinais x[n] a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
x[n]=cos pi n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se o sinal é periódico ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de sinais em processamento digital, especificamente sobre periodicidade de sinais discretos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um sinal ser periódico e como aplicar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sinal periódico. Um sinal discreto é periódico se existe um número inteiro positivo tal que para todo . Esse é chamado de período do sinal. Então, nosso objetivo é encontrar se existe um que satisfaça essa condição para .

Passo 3

Agora, vamos analisar . Sabemos que o cosseno tem propriedades periódicas na matemática, mas como estamos lidando com sinais discretos, precisamos ver como isso se comporta para cada valor inteiro de .

Passo 4

Vamos calcular alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Perceba que o sinal está alternando entre 1 e -1 a cada incremento de .

Passo 5

Com base nesses cálculos, vemos que . Isso ocorre porque , uma propriedade periódica do cosseno.

Passo 6

Então, encontramos que o sinal se repete a cada amostras. Ou seja, para todo .

Resposta

Sim, o sinal é periódico com período .

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