Determine se os sinais
a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar se o sinal
é periódico ou não. Isso está relacionado ao conteúdo de sinais em processamento digital, especificamente sobre periodicidade de sinais discretos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um sinal ser periódico e como aplicar isso na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sinal periódico. Um sinal discreto
é periódico se existe um número inteiro positivo
tal que
para todo
. Esse
é chamado de período do sinal. Então, nosso objetivo é encontrar se existe um
que satisfaça essa condição para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Sabemos que o cosseno tem propriedades periódicas na matemática, mas como estamos lidando com sinais discretos, precisamos ver como isso se comporta para cada valor inteiro de
.
Passo 4
Vamos calcular alguns valores de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Perceba que o sinal está alternando entre 1 e -1 a cada incremento de
.
Passo 5
Com base nesses cálculos, vemos que
. Isso ocorre porque
, uma propriedade periódica do cosseno.
Passo 6
Então, encontramos que o sinal se repete a cada
amostras. Ou seja,
para todo
.
Resposta
Sim, o sinal
é periódico com período
.