Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=x^2[n]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema definido por . Precisamos determinar se esse sistema é causal, linear, invariante com o tempo e estável. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e análise de sinais.

Passo 2

Causalidade: Um sistema é causal se sua saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não de futuros. No nosso caso, depende apenas do valor atual de , então é causal.

Passo 3

Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades: homogeneidade e adição.
  • Homogeneidade: Se . Vamos testar:
    .
    Isso não é igual a , a menos que ou .
  • Aditividade: Se .
    .
    Isso não é igual a .
Como as duas propriedades não são satisfeitas, o sistema não é linear.

Passo 4

Invariância com o Tempo: Um sistema é invariante com o tempo se uma mudança no tempo da entrada resulta na mesma mudança na saída. Vamos ver:
Se deslocarmos a entrada no tempo: .
A saída será .
Isso é igual a deslocar a saída original: .
Como são iguais, o sistema é invariante com o tempo.

Passo 5

Estabilidade: Um sistema é estável se entradas limitadas produzem saídas limitadas. Ou seja, se , então para algum .
No nosso caso, . Se , então .
Como é finito se é finito, o sistema é estável.

Resposta

O sistema é causal, invariante com o tempo e estável, porém não é linear.

Exercícios relacionados