Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema definido por
. Precisamos determinar se esse sistema é causal, linear, invariante com o tempo e estável. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e análise de sinais.
Passo 2
Causalidade: Um sistema é causal se sua saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não de futuros. No nosso caso,
depende apenas do valor atual de
, então é causal.
Passo 3
Linearidade: Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades: homogeneidade e adição.
-
Homogeneidade: Se
. Vamos testar:
.
Isso não é igual a, a menos que ou . -
Aditividade: Se
.
.
Isso não é igual a.
Como as duas propriedades não são satisfeitas, o sistema não é linear.
Passo 4
Invariância com o Tempo: Um sistema é invariante com o tempo se uma mudança no tempo da entrada resulta na mesma mudança na saída. Vamos ver:
Se deslocarmos a entrada no tempo:
.
A saída será .
A saída será
Isso é igual a deslocar a saída original:
.
Como são iguais, o sistema é invariante com o tempo.
Passo 5
Estabilidade: Um sistema é estável se entradas limitadas produzem saídas limitadas. Ou seja, se
, então
para algum
.
No nosso caso,
. Se
, então
.
Como
é finito se
é finito, o sistema é estável.
Resposta
O sistema
é causal, invariante com o tempo e estável, porém não é linear.