Determine se os sinais x[n] a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
x[n]=cos (pi3 n)+sen(pi5 n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, também temos que encontrar o período dele. Para isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos em processamento digital.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sinal ser periódico. Um sinal discreto é periódico se existir um número inteiro positivo tal que para todo . Isso significa que o sinal se repete a cada amostras.

Passo 3

Agora, vamos analisar as duas partes do sinal :
Cada uma dessas funções tem sua própria frequência angular. Para que a soma delas seja periódica, as frequências angulares devem estar numa relação de números racionais.

Passo 4

Vamos verificar as frequências:
  • Para , a frequência angular é .
  • Para , a frequência angular é .
A relação entre elas é , que é uma fração racional. Isso indica que o sinal é periódico.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o menor período para o qual ambas as partes do sinal se completam. Para cada função, o período satisfaz:
Onde e são inteiros positivos. O menor que satisfaz ambas as equações é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 6 e 10, que é 30.

Resposta

O sinal é periódico e o seu período é .

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