Determine se os sinais
a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o sinal
é periódico ou não. Se for periódico, também temos que encontrar o período dele. Para isso, vamos usar conceitos de sinais periódicos em processamento digital.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sinal ser periódico. Um sinal discreto
é periódico se existir um número inteiro positivo
tal que
para todo
. Isso significa que o sinal se repete a cada
amostras.
Passo 3
Agora, vamos analisar as duas partes do sinal
:
Cada uma dessas funções tem sua própria frequência angular. Para que a soma delas seja periódica, as frequências angulares devem estar numa relação de números racionais.
Passo 4
Vamos verificar as frequências:
- Para
, a frequência angular é . - Para
, a frequência angular é .
A relação entre elas é
, que é uma fração racional. Isso indica que o sinal
é periódico.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o menor período
para o qual ambas as partes do sinal se completam. Para cada função, o período
satisfaz:
-
⇒ ⇒ -
⇒ ⇒
Onde
e
são inteiros positivos. O menor
que satisfaz ambas as equações é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 6 e 10, que é 30.
Resposta
O sinal
é periódico e o seu período é
.