Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=sumk=-infty^n x[k]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema definido por:
Hx[n] = sumk=-infty^n x[k]
O objetivo é determinar se esse sistema é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades:
  • Causalidade: Verifica se a saída do sistema depende apenas dos valores presentes e passados da entrada.
  • Linearidade: Checa se o sistema satisfaz os princípios de superposição e homogeneidade.
  • Invariância no Tempo: Confirma se o comportamento do sistema é constante ao longo do tempo.
  • Estabilidade: Determina se uma entrada limitada gera uma saída também limitada.
Vamos analisar cada propriedade passo a passo.

Passo 2

Causalidade
Para verificar se o sistema é causal, precisamos ver se a saída y[n] = sumk=-infty^n x[k] depende apenas de para .
No sistema dado:
Aqui, a saída depende de todos os valores de para desde até . Isso significa que a saída em não depende de valores futuros de (ou seja, para ). Portanto, o sistema é causal.

Passo 3

Linearidade
Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades: superposição e homogeneidade.
  1. Superposição: Se Hx1[n] + x2[n] = sumk=-infty^n (x1[k] + x2[k]) = sumk=-infty^n x1[k] + sumk=-infty^n x2[k] = y1[n] + y2[n] e Ha cdot x[n] = sumk=-infty^n a cdot x[k] = a cdot sumk=-infty^n x[k] = a cdot y[n] , então .
    Aplicando no sistema:
  2. Homogeneidade: Se , então , onde é uma constante.
Como o sistema satisfaz ambas as propriedades, ele é linear.

Passo 4

Invariância no Tempo
Para verificar se o sistema é invariante no tempo, vamos ver se um deslocamento na entrada resulta em um deslocamento igual na saída.
Suponha que a entrada seja deslocada no tempo por Hx[n - n0] = sumk=-infty^n x[k - n0] :
Entrada original: y[n - n0] = sumk=-infty^n - n0 x[k]
Entrada deslocada: sumk=-infty^n x[k - n0] = sumk=-infty^n - n0 x[k]
Saída para a entrada deslocada:
sumk=-infty^n x[k - n0] = summ=-infty^n - n0 x[m]
Vamos comparar com a saída deslocada:
Para que o sistema seja invariante no tempo, precisamos que:
Fazendo uma mudança de variável , temos:
As duas expressões são iguais, então o sistema é invariante no tempo.

Passo 5

Estabilidade
Um sistema é BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estável se, para toda entrada limitada, a saída também for limitada.
Vamos considerar uma entrada y[n] = sumk=-infty^n x[k] limitada, ou seja, existe um tal que para todo .
A saída do sistema é:
Para que seja limitado, a soma infinita deve convergir para um valor finito. No entanto, se somarmos valores limitados infinitamente, a soma tende a , dependendo dos termos.
Portanto, mesmo com uma entrada limitada, a saída pode ser ilimitada. Assim, o sistema não é estável.

Resposta

O sistema é causal, linear, invariante no tempo, mas não é estável.

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