Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema definido por:
O objetivo é determinar se esse sistema é causal, linear, invariante no tempo e estável. Para isso, vamos precisar entender cada uma dessas propriedades:
- Causalidade: Verifica se a saída do sistema depende apenas dos valores presentes e passados da entrada.
- Linearidade: Checa se o sistema satisfaz os princípios de superposição e homogeneidade.
- Invariância no Tempo: Confirma se o comportamento do sistema é constante ao longo do tempo.
- Estabilidade: Determina se uma entrada limitada gera uma saída também limitada.
Vamos analisar cada propriedade passo a passo.
Passo 2
Causalidade
Para verificar se o sistema é causal, precisamos ver se a saída
depende apenas de
para
.
No sistema dado:
Aqui, a saída
depende de todos os valores de
para
desde
até
. Isso significa que a saída em
não depende de valores futuros de
(ou seja, para
). Portanto, o sistema é causal.
Passo 3
Linearidade
Um sistema é linear se satisfaz duas propriedades: superposição e homogeneidade.
-
Superposição: Se
e , então . Aplicando no sistema: -
Homogeneidade: Se
, então , onde é uma constante.
Como o sistema satisfaz ambas as propriedades, ele é linear.
Passo 4
Invariância no Tempo
Para verificar se o sistema é invariante no tempo, vamos ver se um deslocamento na entrada resulta em um deslocamento igual na saída.
Suponha que a entrada seja deslocada no tempo por
:
Entrada original:
Entrada deslocada:
Saída para a entrada deslocada:
Vamos comparar com a saída deslocada:
Para que o sistema seja invariante no tempo, precisamos que:
Fazendo uma mudança de variável
, temos:
As duas expressões são iguais, então o sistema é invariante no tempo.
Passo 5
Estabilidade
Um sistema é BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estável se, para toda entrada limitada, a saída também for limitada.
Vamos considerar uma entrada
limitada, ou seja, existe um
tal que
para todo
.
A saída do sistema é:
Para que
seja limitado, a soma infinita deve convergir para um valor finito. No entanto, se somarmos valores limitados
infinitamente, a soma tende a
, dependendo dos termos.
Portanto, mesmo com uma entrada limitada, a saída pode ser ilimitada. Assim, o sistema não é estável.
Resposta
O sistema é causal, linear, invariante no tempo, mas não é estável.