Determine se os sinais x[n] a seguir são periódicos ou não, e, caso positivo, determine seu período:
x[n]=n bmod 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o sinal é periódico ou não. Se for periódico, a gente também precisa encontrar o período dele. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um sinal periódico e como o operador módulo funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um sinal ser periódico. Um sinal x[n + N] = x[n] para todo n é periódico se existir um número inteiro positivo tal que:
Esse é chamado de período do sinal.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal . O operador módulo retorna o resto da divisão de por 3. Isso significa que os valores possíveis de são 0, 1 e 2, já que esses são os restos possíveis quando dividimos por 3.

Passo 4

Vamos calcular alguns valores de x[0] &= 0 bmod 3 = 0 x[1] &= 1 bmod 3 = 1 x[2] &= 2 bmod 3 = 2 x[3] &= 3 bmod 3 = 0 x[4] &= 4 bmod 3 = 1 x[5] &= 5 bmod 3 = 2 x[6] &= 6 bmod 3 = 0 para ver se conseguimos identificar um padrão que se repete:
A gente vê que os valores começam a se repetir a cada 3 incrementos de .

Passo 5

Com base nisso, parece que o sinal se repete a cada 3 passos. Isso sugere que o sinal é periódico. Para confirmar, vamos verificar se x[n + 3] = (n + 3) bmod 3 = (n bmod 3) + (3 bmod 3) = x[n] + 0 = x[n] para todos os :
Isso confirma que o sinal se repete a cada 3 unidades de .

Resposta

O sinal é periódico, e o seu período é .

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