Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Hx[n]=1n^2 x[n]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se um sistema é causal, linear, invariante no tempo e estável. O sistema dado é:
Hx[n] = 1n^2 x[n]
Então, vamos usar conceitos de sistemas lineares e sinais para verificar cada uma dessas propriedades. Vamos analisar cada propriedade passo a passo.

Passo 2

Causalidade
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não do futuro.
No nosso sistema:
Hx[n] = 1n^2 x[n]
Aqui, a saída em n depende apenas do valor de x[n] no mesmo instante. Não depende de valores futuros (como x[n+1], x[n+2], etc.). Então, o sistema é causal.

Passo 3

Linearidade
Um sistema é linear se satisfaz dois princípios: superposição e homogeneidade.
  1. Superposição: Se Hx1[n] + x2[n] = 1n^2 (x1[n] + x2[n]) = 1n^2 x1[n] + 1n^2 x2[n] = y1[n] + y2[n] e Ha x[n] = 1n^2 (a x[n]) = a ( 1n^2 x[n] ) = a y[n] , então .
  2. Homogeneidade: Se , então para qualquer constante , .
Vamos testar:
Para duas entradas e :
E para uma constante :
Portanto, o sistema é linear.

Passo 4

Invariância no Tempo
Um sistema é invariante no tempo se suas características não mudam com o tempo. Ou seja, se a entrada é deslocada no tempo, a saída também é deslocada de forma correspondente.
Vamos testar:
Considere uma entrada deslocada Hx[n - n0] = 1n^2 x[n - n0] .
A saída seria:
y[n - n0] = 1(n - n0)^2 x[n - n0]
Agora, vamos ver se isso é igual a 1n^2 x[n - n0] ne 1(n - n0)^2 x[n - n0] :
Comparando:
A menos que , não são iguais. Portanto, o sistema não é invariante no tempo.

Passo 5

Estabilidade
Um sistema é estável, especificamente BIBO (Bounded Input, Bounded Output), se toda entrada limitada resulta em uma saída também limitada.
Vamos verificar:
Se |y[n]| = | 1n^2 x[n] | <= 1n^2 M para algum M, então:
Para todo diferente de zero, é finito. Além disso, quando cresce, tende a zero, garantindo que permanece limitado.
Portanto, o sistema é estável.

Resposta

O sistema é causal, linear e estável, mas não é invariante com o tempo.

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