Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é causal, linear, invariante com o tempo e estável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se um sistema é causal, linear, invariante no tempo e estável. O sistema dado é:
Então, vamos usar conceitos de sistemas lineares e sinais para verificar cada uma dessas propriedades. Vamos analisar cada propriedade passo a passo.
Passo 2
Causalidade
Um sistema é causal se a saída em qualquer instante depende apenas dos valores presentes e passados da entrada, não do futuro.
No nosso sistema:
Aqui, a saída em n depende apenas do valor de x[n] no mesmo instante. Não depende de valores futuros (como x[n+1], x[n+2], etc.). Então, o sistema é causal.
Passo 3
Linearidade
Um sistema é linear se satisfaz dois princípios: superposição e homogeneidade.
Superposição: Se e , então .
Homogeneidade: Se , então para qualquer constante , .
Vamos testar:
Para duas entradas e :
E para uma constante :
Portanto, o sistema é linear.
Passo 4
Invariância no Tempo
Um sistema é invariante no tempo se suas características não mudam com o tempo. Ou seja, se a entrada é deslocada no tempo, a saída também é deslocada de forma correspondente.
Vamos testar:
Considere uma entrada deslocada .
A saída seria:
Agora, vamos ver se isso é igual a :
Comparando:
A menos que , não são iguais. Portanto, o sistema não é invariante no tempo.
Passo 5
Estabilidade
Um sistema é estável, especificamente BIBO (Bounded Input, Bounded Output), se toda entrada limitada resulta em uma saída também limitada.
Vamos verificar:
Se para algum M, então:
Para todo diferente de zero, é finito. Além disso, quando cresce, tende a zero, garantindo que permanece limitado.
Portanto, o sistema é estável.
Resposta
O sistema é causal, linear e estável, mas não é invariante com o tempo.