Para cada um dos sistemas, verifique se as funções dadas são soluções e se formam um conjunto fundamental de soluções.
x^prime=[ccc-5 & 2 & -2 1 & -4 & -1 -1 & 1 & -6] x, x^(1)(t)=[l1 1 0] e^-3 t, x^(2)(t)=[l0 1 1] e^-5 t.

Passo 1

O enunciado pede para o sistema linear x'=Ax, com
A=-5 & 2 & -2 1 & -4 & -1 -1 & 1 & -6,
ser verificado em relação às funções
x^(1)(t)=110e^-3t, x^(2)(t)=011e^-5t
O conteúdo é resolução de sistemas lineares de coeficientes constantes, e vamos precisar usar substituição direta e teste de independência linear.

Passo 2

Vamos verificar que x^(1) é solução: calculamos
(x^(1))'=-3110e^-3t,
e também
A,x^(1)=-5 & 2 & -2 1 & -4 & -1 -1 & 1 & -6 110e^-3t =-3-30e^-3t
Como (x^(1))'=A,x^(1), é de fato uma solução.

Passo 3

Agora fazemos o mesmo para x^(2):
(x^(2))'=-5011e^-5t,
A,x^(2)=-5 & 2 & -2 1 & -4 & -1 -1 & 1 & -6 011e^-5t =0-5-5e^-5t
Vemos que (x^(2))'=A,x^(2), então também é solução.

Passo 4

Para formar um conjunto fundamental de soluções num sistema de dimensão 3, a gente precisa de três soluções linearmente independentes. Aqui só temos duas, e mesmo que seus vetores constantes
110 e 011 sejam independentes, faltaria uma terceira solução para cobrir toda a dimensão.

Passo 5

final_answer

Resposta

As duas funções são soluções do sistema, mas como existem apenas duas e o espaço de soluções é tridimensional, elas não formam um conjunto fundamental.

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