Calcule os limites.
i) lim x -1 x^3+3 x^2-x-3x^3-x^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí! A gente vai calcular o limite quando limx -1 x^3 + 3x^2 - x - 3x^3 - x^2 + 2 se aproxima de para a função:
Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente em Limites. Para resolver, vamos precisar verificar se substituindo a fração dá uma forma definida ou indeterminada, e caso seja indeterminada, vamos fatorar e simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir (-1)^3 + 3(-1)^2 - (-1) - 3 = -1 + 3(1) + 1 - 3 = -1 + 3 + 1 - 3 = 0 diretamente na função para ver o que acontece:
No numerador:
(-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0
No denominador:
A substituição deu , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar. Começando pelo numerador:
x^3 + 3x^2 - x - 3
Podemos tentar fatorar por meio da divisão sintética ou buscando raízes. Testando (x + 1)(x^2 + 2x - 3) :
x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)
Agora, fatorando (x + 1)(x + 3)(x - 1) :
Então, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
x^3 - x^2 + 2
Usando o mesmo método, testando (x + 1)(x^2 - 2x + 2) :
(x + 1)(x^2 - 2x + 2)
Então, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora, nossa expressão fica:
(x + 1)(x + 3)(x - 1)(x + 1)(x^2 - 2x + 2)
Podemos cancelar o termo comum (x + 3)(x - 1)x^2 - 2x + 2 :

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir (-1 + 3)(-1 - 1) = (2)(-2) = -4 diretamente:
Numerador:
(-1)^2 - 2(-1) + 2 = 1 + 2 + 2 = 5
Denominador:
-45
Então, a expressão simplificada em é:

Resposta

O limite é .

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