Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado nos dá duas equações:
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de EDOs e autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma matricial. Isso facilita a visualização e aplicação de técnicas de álgebra linear. Podemos expressar o sistema da seguinte maneira:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A
\lambda $), resolvemos a equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade.
Vamos calcular:
O determinante é:
Então:
Passo 4
Com os autovalores $ \lambda_{1} = 2 $ e $ \lambda_{2} = -2 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada autovalor. Autovetores são vetores que não mudam de direção quando a matriz é aplicada a eles.
Para $ \lambda_{1} = 2 $:
Resolvemos $ (A - 2I)\mathbf{v} = 0 $:
Isso nos dá a equação $ -v_{1} + v_{2} = 0 $, ou seja, $ v_{2} = v_{1} $. Podemos escolher $ v_{1} = 1 $, então o autovetor é $ \mathbf{v}_{1} =
$.
Para $ \lambda_{2} = -2 $:
Resolvemos $ (A + 2I)\mathbf{v} = 0 $:
Isso nos dá a equação $ 3v_{1} + v_{2} = 0 $, ou seja, $ v_{2} = -3v_{1} $. Podemos escolher $ v_{1} = 1 $, então o autovetor é $ \mathbf{v}_{2} =
$.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares com autovalores reais e distintos é:
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas aqui).
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.