Encontre a solução do sistema de EDOs abaixo.
ly1^prime=y1+y2 y2^prime=3 y1-y2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). O enunciado nos dá duas equações:
y1^prime = y1 + y2 y2^prime = 3y1 - y2
Vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de EDOs e autovalores e autovetores para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma matricial. Isso facilita a visualização e aplicação de técnicas de álgebra linear. Podemos expressar o sistema da seguinte maneira:
Y' = AY
Onde:
Y = y1 y2 e A = 1 & 1 3 & -1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A A ãú \lambda $), resolvemos a equação característica:
lambda
Onde $ I $ é a matriz identidade.
Vamos calcular:
det(A - lambda I) = 0
O determinante é:
I
Então:
A - lambda I = 1 - lambda & 1 3 & -1 - lambda

Passo 4

Com os autovalores $ \lambda_{1} = 2 $ e $ \lambda_{2} = -2 $, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada autovalor. Autovetores são vetores que não mudam de direção quando a matriz é aplicada a eles.
Para $ \lambda_{1} = 2 $:
Resolvemos $ (A - 2I)\mathbf{v} = 0 $:
lambda1 = 2
Isso nos dá a equação $ -v_{1} + v_{2} = 0 $, ou seja, $ v_{2} = v_{1} $. Podemos escolher $ v_{1} = 1 $, então o autovetor é $ \mathbf{v}_{1} = lambda2 = -2 $.
Para $ \lambda_{2} = -2 $:
Resolvemos $ (A + 2I)\mathbf{v} = 0 $:
lambda1 = 2
Isso nos dá a equação $ 3v_{1} + v_{2} = 0 $, ou seja, $ v_{2} = -3v_{1} $. Podemos escolher $ v_{1} = 1 $, então o autovetor é $ \mathbf{v}_{2} = (A - 2I)v = 0 $.

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral para sistemas lineares com autovalores reais e distintos é:
Y(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas aqui).
Substituindo os valores que encontramos:
c1

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é:
y1(t) y2(t) = c1 e^2t 1 1 + c2 e^-2t 1 -3
Onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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