Determine a solução geral do sistema de equações proposto .
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia: Temos o sistema linear de EDOs autonômo x'=Ax, onde
A=1 & 0 & 03 & 1 & -22 & 2 & 1
O objetivo é achar a solução geral usando as técnicas de sistemas triangulares e redução de ordem.
Passo 2
Identificação da primeira equação: Note que da primeira linha de x'=Ax temos
x1'=1cdot x1,
que é uma EDO simples de 1ª ordem. Logo
x1(t)=C1e^t,
onde C1 é constante de integração.
Passo 3
Redução para o sub-sistema de x2 e x3: Usando x1(t)=C1e^t nas duas últimas linhas do sistema, definimos x2(t)x3(t)
obtemos um sistema não-homogêneo
com
y'=By+f(t),
Passo 4
Solução geral do sistema homogêneo associado: Para , as raízes do polinômio característico são y'=By. Isso gera duas soluções reais independentes do tipo
onde 1pm2i são constantes.
Passo 5
Particular via coeficientes não determinados: Como f(t)=C1e^t v com v=(3,2)^T e e^t não é solução de (não há ressonância com parte imaginária zero), supomos
com vetor constante y'=By. Substituindo em e cancelando yp(t)=a,e^t, vem
a=(a1,a2)^T
o que leva ao sistema
y'=By+f(t)
Resolvendo, achamos
e^t
e portanto
Passo 6
Combinação das partes e montagem da solução geral: A solução completa para é
Voltando a y(t)=(x2,x3)^T, a solução geral do sistema original é dada por juntar y(t)=yh(t)+yp(t) =e^tl[K2sin(2t)cos(2t)+K3-cos(2t)sin(2t)r]+C1e^t-1tfrac32 .