Para cada uma das situações seguintes, determine as estruturas de custos de curto prazo. Lembre-se que q é a produção da firma, L é a quantidade do insumo trabalho, K é a quantidade do insumo capital, w1 é o preço de cada unidade de trabalho e w2 é o preço de cada unidade de capital.
\mathrm{q}=\mathrm{L}^{0,5} \mathrm{~K}^{0,5} ; \mathrm{w} 1=\ 4 ; \mathrm{w} 2=$1 ; \mathrm{K}=2 . \(\mathrm{q}=\mathrm{L}^{0,2} \mathrm{~K}^{0,3} ; \mathrm{w} 1=\\) 5 ; \mathrm{w} 2=\$5 ; \mathrm{K}=4.

Passo 1

Aqui a tarefa é: para cada uma das duas situações, determinar a estrutura de custos de curto prazo da firma. Ou seja, vamos escrever as funções de custo em função da produção \mathrm{q}: custo fixo (TFC), custo variável (TVC), custo total (TC), custo variável médio (AVC), custo fixo médio (AFC), custo médio total (ATC) e custo marginal (MC).
Dados da primeira situação:
\mathrm{q}= \mathrm{L}^{0,5}\,\mathrm{K}^{0,5},\quad \mathrm{w}_1=\$4,\quad \mathrm{w}_2=\$1,\quad \mathrm{K}=2.
Dados da segunda situação:
\mathrm{q}= \mathrm{L}^{0,2}\,\mathrm{K}^{0,3},\quad \mathrm{w}_1=\$5,\quad \mathrm{w}_2=\$5,\quad \mathrm{K}=4.

Passo 2

Conceito e plano de ação (explicação didática simples e passo a passo):
  • No curto prazo assumimos que o capital \mathrm{K} é fixo (já dado) e o trabalho \mathrm{L} é o insumo variável. Logo o custo fixo é só o custo do capital: \mathrm{TFC}=\mathrm{w}_2\cdot \mathrm{K}.
  • O custo variável \mathrm{TVC} depende de quanto de trabalho \mathrm{L} é necessário para produzir \mathrm{q}: \mathrm{TVC}=\mathrm{w}_1\cdot \mathrm{L}(\mathrm{q}). Então precisamos inverter a função de produção para obter \mathrm{L} em função de \mathrm{q}.
  • Depois calculamos \mathrm{TC}=\mathrm{TFC}+\mathrm{TVC}.
  • Definições úteis (vou usá‑las depois): \mathrm{AVC}=\mathrm{TVC}/\mathrm{q}, \mathrm{AFC}=\mathrm{TFC}/\mathrm{q}, \mathrm{ATC}=\mathrm{TC}/\mathrm{q}, e \mathrm{MC}=d\mathrm{TC}/d\mathrm{q}=d\mathrm{TVC}/d\mathrm{q} (porque \mathrm{TFC} é constante).

Passo 3

Resolução detalhada da Situação 1 (passo a passo, com explicações):
  • Começo invertendo a produção para achar \mathrm{L}(\mathrm{q}). Parto de
\mathrm{q}= \mathrm{L}^{0,5}\,\mathrm{K}^{0,5}.
  • Isolo \mathrm{L}^{0,5}:
\mathrm{L}^{0,5}=\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{K}^{0,5}}.
  • Elevo ambos os lados ao inverso de 0,5, que é 1/0,5=2, para obter \mathrm{L}:
\mathrm{L}=\left(\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{K}^{0,5}}\right)^{2}.
  • Simplifico a potência: \left(\mathrm{K}^{0,5}\right)^{2}=\mathrm{K}^{1}, logo
\mathrm{L}=\frac{\mathrm{q}^{2}}{\mathrm{K}}.
  • Substituo \mathrm{K}=2:
\mathrm{L}(\mathrm{q})=\frac{\mathrm{q}^{2}}{2}.
  • Agora o custo variável é \mathrm{TVC}=\mathrm{w}_1\cdot \mathrm{L}(\mathrm{q}). Com \mathrm{w}_1=\$4:
\mathrm{TVC}=4\cdot \frac{\mathrm{q}^{2}}{2}=2\,\mathrm{q}^{2}.
  • O custo fixo é \mathrm{TFC}=\mathrm{w}_2\cdot \mathrm{K}=1\cdot 2=2.
  • Logo o custo total é
\mathrm{TC}=\mathrm{TFC}+\mathrm{TVC}=2+2\,\mathrm{q}^{2}.
  • Calculo as médias:
\mathrm{AVC}=\frac{\mathrm{TVC}}{\mathrm{q}}=\frac{2\,\mathrm{q}^{2}}{\mathrm{q}}=2\,\mathrm{q},
\mathrm{AFC}=\frac{\mathrm{TFC}}{\mathrm{q}}=\frac{2}{\mathrm{q}},
\mathrm{ATC}=\frac{\mathrm{TC}}{\mathrm{q}}=\frac{2}{\mathrm{q}}+2\,\mathrm{q}.
  • Finalmente, o custo marginal (regra do valor marginal da função custo total). Uso a regra da derivada: \frac{d}{d\mathrm{q}}\mathrm{q}^{n}=n\mathrm{q}^{n-1}. Como \mathrm{TFC} é constante, \mathrm{MC}=d\,\mathrm{TVC}/d\mathrm{q}. Como \mathrm{TVC}=2\,\mathrm{q}^{2},
\mathrm{MC}=\frac{d}{d\mathrm{q}}(2\,\mathrm{q}^{2})=2\cdot 2\,\mathrm{q}=4\,\mathrm{q}.

Passo 4

Resolução detalhada da Situação 2 (passo a passo, com explicações):
  • Parto da função de produção
\mathrm{q}= \mathrm{L}^{0,2}\,\mathrm{K}^{0,3}.
  • Isolo \mathrm{L}^{0,2}:
\mathrm{L}^{0,2}=\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{K}^{0,3}}.
  • Elevo ambos os lados ao inverso de 0,2, que é 1/0,2=5, para achar \mathrm{L}:
\mathrm{L}=\left(\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{K}^{0,3}}\right)^{5}.
  • Uso propriedade de potências: \left(\mathrm{K}^{0,3}\right)^{5}=\mathrm{K}^{1,5}, então
\mathrm{L}=\frac{\mathrm{q}^{5}}{\mathrm{K}^{1,5}}.
  • Substituo \mathrm{K}=4. Calculo \mathrm{K}^{1,5}=4^{1,5}=4^{3/2}= \sqrt{4^{3}} = \sqrt{64}=8. Assim
\mathrm{L}(\mathrm{q})=\frac{\mathrm{q}^{5}}{8}.
  • O custo variável é \mathrm{TVC}=\mathrm{w}_1\cdot \mathrm{L}(\mathrm{q}). Com \mathrm{w}_1=\$5:
\mathrm{TVC}=5\cdot \frac{\mathrm{q}^{5}}{8}=\frac{5}{8}\,\mathrm{q}^{5}.
  • O custo fixo é \mathrm{TFC}=\mathrm{w}_2\cdot \mathrm{K}=5\cdot 4=20.
  • Logo o custo total é
\mathrm{TC}=20+\frac{5}{8}\,\mathrm{q}^{5}.
  • As médias:
\mathrm{AVC}=\frac{\mathrm{TVC}}{\mathrm{q}}=\frac{5}{8}\,\mathrm{q}^{4},
\mathrm{AFC}=\frac{\mathrm{TFC}}{\mathrm{q}}=\frac{20}{\mathrm{q}},
\mathrm{ATC}=\frac{20}{\mathrm{q}}+\frac{5}{8}\,\mathrm{q}^{4}.
  • Para o custo marginal aplico a regra da potência à \mathrm{TVC}=\frac{5}{8}\,\mathrm{q}^{5}:
\mathrm{MC}=\frac{d}{d\mathrm{q}}\left(\frac{5}{8}\,\mathrm{q}^{5}\right)=\frac{5}{8}\cdot 5\,\mathrm{q}^{4}=\frac{25}{8}\,\mathrm{q}^{4}.

Resposta

Situação 1:
\mathrm{TFC}=2
\mathrm{TVC}=2\,\mathrm{q}^{2}
\mathrm{TC}=2+2\,\mathrm{q}^{2}
\mathrm{AVC}=2\,\mathrm{q}
\mathrm{AFC}=\dfrac{2}{\mathrm{q}}
\mathrm{ATC}=\dfrac{2}{\mathrm{q}}+2\,\mathrm{q}
\mathrm{MC}=4\,\mathrm{q}
Situação 2:
\mathrm{TFC}=20
\mathrm{TVC}=\dfrac{5}{8}\,\mathrm{q}^{5}
\mathrm{TC}=20+\dfrac{5}{8}\,\mathrm{q}^{5}
\mathrm{AVC}=\dfrac{5}{8}\,\mathrm{q}^{4}
\mathrm{AFC}=\dfrac{20}{\mathrm{q}}
\mathrm{ATC}=\dfrac{20}{\mathrm{q}}+\dfrac{5}{8}\,\mathrm{q}^{4}
\mathrm{MC}=\dfrac{25}{8}\,\mathrm{q}^{4}

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