Para cada subconjunto A do espaço vetorial indicado abaixo, verifique que se trata de um subespaço afim e descreva o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo: (a) A subset F([-1,1], R) dado por A=f in F([-1,1], R): f(1 / 2)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
A=fcolon[-1,1]toRmid f(1/2)=-1
é um subespaço afim de F([-1,1],R) e identificar o subespaço vetorial paralelo a ele. Vamos usar a definição de subespaço afim: existe um vetor (função) f0 em A e um subespaço vetorial U tais que
A=f0 + U

Passo 2

Escolhemos uma função base em A. A mais simples é a função constante
f0(x)=-1, xin[-1,1]
Ela está em A pois f0(1/2)=-1.

Passo 3

Definimos o candidato a subespaço vetorial paralelo a A como
U = ,hinF([-1,1],R) mid h(1/2)=0
Vamos ver que U é realmente um subespaço vetorial:
  1. A função zero satisfaz 0(1/2)=0, logo 0in U.
  2. Se h1,h2in U, então (h1+h2)(1/2)=h1(1/2)+h2(1/2)=0+0=0, logo h1+h2in U.
  3. Se hin U e lambdainR, então (lambda h)(1/2)=lambda,h(1/2)=lambdacdot0=0, logo lambda hin U.

Passo 4

Mostramos agora que qualquer finA se escreve como
f = f0 + h
para algum hin U. Basta tomar
h(x)=f(x)-f0(x)=f(x)+1
Como f(1/2)=-1, temos h(1/2)=(-1)+1=0, ou seja, hin U. Assim f=f0+h.

Passo 5

Concluímos que
A = f0 + U,
logo A é um subespaço afim de direção (paralelo a)
U = ,hcolon[-1,1]toRmid h(1/2)=0

Resposta

O conjunto A é um subespaço afim e o subespaço vetorial paralelo a ele é
,hinF([-1,1],R) mid h(1/2)=0

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