Para cada subconjunto
do espaço vetorial indicado abaixo, verifique que se trata de um subespaço afim e descreva o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo: (a)
dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subespaço afim de e identificar o subespaço vetorial paralelo a ele. Vamos usar a definição de subespaço afim: existe um vetor (função)
em
e um subespaço vetorial
tais que
é um subespaço afim de
Passo 2
Escolhemos uma função base em
. A mais simples é a função constante
Ela está em
pois
.
Passo 3
Definimos o candidato a subespaço vetorial paralelo a
como
Vamos ver que
é realmente um subespaço vetorial:
- A função zero satisfaz
, logo . - Se
, então , logo . - Se
e , então , logo .
Passo 4
Mostramos agora que qualquer
se escreve como
para algum
. Basta tomar
Como
, temos
, ou seja,
. Assim
.
Passo 5
Concluímos que
logo
é um subespaço afim de direção (paralelo a)
Resposta
O conjunto
é um subespaço afim e o subespaço vetorial paralelo a ele é