Para cada subconjunto
do espaço vetorial indicado abaixo, decida se
é um subespaço vetorial:
(e) O conjunto
formado pelos vetores
tais que
x y=0 .
(e) O conjunto
Passo 1
O enunciado define
e pede para decidir se
W é subespaço de
R^3 .
Para isso precisamos usar o Critério de Subespaço:
Para isso precisamos usar o Critério de Subespaço:
-
.0inW - Fechamento sob soma: se
entãou,vinW .u+vinW - Fechamento sob multiplicação escalar: se
euinW entãolambdainR .lambda uinW
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
W .
O vetor zero é0=(0,0,0) .
Como0cdot 0 = 0 , temos
0inW .
O vetor zero é
Como
Passo 3
Testamos o fechamento sob soma por um contraexemplo:
Considere
Considere
Em
u temos
1cdot 0 = 0 e em
v temos
0cdot 1 = 0 , logo
u,vinW .
Mas
Mas
e aqui
1cdot 1 = 1 neq 0 , portanto
u+vnotinW .
Isto mostra queW não é fechado sob soma.
Isto mostra que
Passo 4
Para ser completo, verificamos o fechamento sob multiplicação escalar.
Se(x,y,z)inW então
x,y=0 . Para qualquer
lambdainR ,
Se
logo
lambda(x,y,z)inW . Portanto
W é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como
W falha no fechamento sob adição, ele não satisfaz todos os requisitos de subespaço vetorial.