Para cada subconjunto W do espaço vetorial indicado abaixo, decida se W é um subespaço vetorial:
(e) O conjunto W subset R^3 formado pelos vetores [lx y z] tais que x y=0.

Passo 1

O enunciado define
W = l(x,y,z)inR^3 mid x,y = 0r
e pede para decidir se W é subespaço de R^3.
Para isso precisamos usar o Critério de Subespaço:
  1. 0inW.
  2. Fechamento sob soma: se u,vinW então u+vinW.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se uinW e lambdainR então lambda uinW.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W.
O vetor zero é 0=(0,0,0).
Como 0cdot 0 = 0, temos 0inW.

Passo 3

Testamos o fechamento sob soma por um contraexemplo:
Considere
u = (1,0,0), v = (0,1,0)
Em u temos 1cdot 0 = 0 e em v temos 0cdot 1 = 0, logo u,vinW.
Mas
u+v = (1,1,0),
e aqui 1cdot 1 = 1 neq 0, portanto u+vnotinW.
Isto mostra que W não é fechado sob soma.

Passo 4

Para ser completo, verificamos o fechamento sob multiplicação escalar.
Se (x,y,z)inW então x,y=0. Para qualquer lambdainR,
(lambda x),(lambda y) = lambda^2,(x,y) = lambda^2cdot 0 = 0,
logo lambda(x,y,z)inW. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como W falha no fechamento sob adição, ele não satisfaz todos os requisitos de subespaço vetorial.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de R^3.

Exercícios relacionados