Sem calcular determinantes, decida quais matrizes abaixo possuem inversa (lembre que uma matriz n times n A possui inversa se, e somente se, tiver posto igual a n ). Para as que forem inversíveis, calcule a inversa pelo método de Gauss-Jordan.
(b) [lll4 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 8]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 8
e lembra que A é invertível se, e somente se, tiver posto 3. Vamos aplicar o método de Gauss–Jordan ao sistema aumentado l[Amid I3r]. Se conseguirmos reduzir a parte esquerda a I3, então A é invertível e a parte direita resultante será A^-1.

Passo 2

Formamos
l[Amid I3r] = [ccc|ccc 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 0 7 & 8 & 8 & 0 & 0 & 1 ]
( 1) Dividimos a linha 1 por 4 para criar o pivô ,1 em (1,1):
R1 tfrac14R1 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & tfrac12 & tfrac34 & tfrac14 & 0 & 0 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 0 7 & 8 & 8 & 0 & 0 & 1 ]
( 2) Anulamos as entradas abaixo do pivô em coluna 1:
R2 R2-4R1, R3 R3-7R1,
resultando em
[ccc|ccc 1 & tfrac12 & tfrac34 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 3 & 3 & -1 & 1 & 0 0 & tfrac92 & tfrac114 & -tfrac74 & 0 & 1 ]

Passo 3

( 1) Dividimos a linha 2 por 3 para pivô em (2,2):
R2 tfrac13R2 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & tfrac12 & tfrac34 & tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -tfrac13 & tfrac13 & 0 0 & tfrac92 & tfrac114 & -tfrac74 & 0 & 1 ]
( 2) Anulamos em coluna 2 as entradas nas linhas 1 e 3:
R1 R1-tfrac12R2, R3 R3-tfrac92R2
Fica
[ccc|ccc 1 & 0 & tfrac14 & tfrac512 & -tfrac16 & 0 0 & 1 & 1 & -tfrac13 & tfrac13 & 0 0 & 0 & -tfrac74 & -tfrac14 & -tfrac32 & 1 ]

Passo 4

( 1) Dividimos a linha 3 por -tfrac74 para pivô em (3,3):
R3 -tfrac47,R3 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & tfrac14 & tfrac512 & -tfrac16 & 0 0 & 1 & 1 & -tfrac13 & tfrac13 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac17 & tfrac67 & -tfrac47 ]
( 2) Anulamos em coluna 3 as entradas nas linhas 1 e 2:
R1 R1-tfrac14R3, R2 R2-R3
A parte esquerda vira I3 e a direita é
[ccc tfrac821 & -tfrac821 & tfrac17[6pt] -tfrac1021 & -tfrac1121 & tfrac47[6pt] tfrac17 & tfrac67 & -tfrac47 ] ]

Resposta

A matriz é invertível e
A^-1 = tfrac821 & -tfrac821 & tfrac17[4pt] -tfrac1021 & -tfrac1121 & tfrac47[4pt] tfrac17 & tfrac67 & -tfrac47 ]

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