Calcule o determinante das seguintes matrizes (faça operações elementares nas linhas ou colunas para simplificar o cálculo):
(b) [cccc1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2]

Passo 1

Temos a matriz
A = 1 & 2 & 2 & 3 1 & 0 & -2 & 0 3 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 0 & 2
e queremos det(A). Vamos usar operações elementares do tipo Li Li - k,Lj, que não alteram o determinante, para zerar as entradas abaixo de a11 e depois expandir pela primeira coluna.

Passo 2

Aplicamos
L2 L2-L1, L3 L3-3L1, L4 L4-4L1
Isso transforma A em
1 & 2 & 2 & 3 0 & -2 & -4 & -3 0 & -7 & -5 & -11 0 & -11 & -8 & -10 ,
sem mudar o valor de det(A).

Passo 3

Agora só o elemento da posição (1,1) é não nulo na primeira coluna. Logo, ao expandir por essa coluna, temos
det(A) =1cdot det -2 & -4 & -3 -7 & -5 & -11 -11 & -8 & -10

Passo 4

Calculemos o determinante do menor 3times3 por expansão de Laplace na primeira linha:
det -2 & -4 & -3 -7 & -5 & -11 -11 & -8 & -10 =-2det -5 & -11-8 & -10 +4det -7 & -11 -11 & -10 -3det -7 & -5 -11 & -8
Calculando cada menor:
det-5 & -11 -8 & -10 =(-5)(-10)-(-11)(-8)=-38,
det-7 & -11 -11 & -10 =(-7)(-10)-(-11)(-11)=-51,
det-7 & -5 -11 & -8 =(-7)(-8)-(-5)(-11)=1
Substituindo em cima:
(-2)(-38)+4(-51)-3(1) =76-204-3 =-131

Resposta

O determinante da matriz é -131.

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