Para cada um dos subconjuntos S e V, onde V é o espaço vetorial indicado, encontrar o subespaço gerado por S, isto é, S.
S=\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\\\ -1 & 0\end{array}\right)\right\}, V=M_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) e o subconjunto
S = \left\{\,\begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt]-1 & 0\end{pmatrix}\right\}.
Queremos achar o subespaço gerado por S, isto é, todas as combinações lineares desses dois matrizes.]

Passo 2

Por definição,
[S] =\Bigl\{\alpha\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix} \;\Big|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Fazendo a soma componente a componente, obtemos
\alpha\begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt]0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt]-1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\alpha & 0 \\[3pt]-\beta & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Seja x=\alpha e y=-\beta. Como \alpha,\beta percorrem \mathbb{R}, também x,y percorrem \mathbb{R}. Logo
[S] =\Bigl\{\begin{pmatrix}x & 0 \\[3pt]y & 0\end{pmatrix}\;\Big|\;x,y\in\mathbb{R}\Bigr\},
isto é, o subespaço de todas as matrizes de M_{2}(\mathbb{R}) cuja segunda coluna é zero.]

Resposta

[S] =\Bigl\{\begin{pmatrix}x & 0 \\[3pt]y & 0\end{pmatrix}\;\Big|\;x,y\in\mathbb{R}\Bigr\}.]

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