Esboce o gráfico da função racional (Obs: determine o dominio, as raizes, intersecção com
eixo y , assíntota horizontal e vertical). (Valor: 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
Precisamos determinar: domínio, raízes (zeros), interseção com o eixo
, assíntotas vertical e horizontal e depois usar essas informações para descrever a forma geral do gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não zere:
Logo,
Passo 3
As raízes da função vêm de
Portanto, o gráfico cruza o eixo
em
.
Passo 4
A interseção com o eixo
obtém-se em
:
Então o ponto é
.
Passo 5
A assíntota vertical ocorre onde o denominador anula, isto é,
Passo 6
Como o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes líderes:
Passo 7
Para ver a curva como uma hipérbole deslocada, escrevemos
Isso mostra que o “centro” da hipérbole fica em
e as assíntotas são
e
.
Passo 8
Analisando o sinal em cada ramo:
- Se
, então . Para , o numerador , então ; para , . O ramo à direita de vem de (ao passar por ) sobe, cruza em e tende a por baixo. - Se
, então e, como para todo temos , o quociente é positivo. O ramo à esquerda de vai de (em ) decresce, passa por e tende a por cima.
Resposta
Domínio:
Raiz: em
Interseção com :
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Gráfico: hipérbole com centro em , ramos nos quadrantes determinados acima, cruzando
e
.
Raiz:
Interseção com
Assíntota vertical:
Assíntota horizontal:
Gráfico: hipérbole com centro em