Esboce o gráfico da função racional (Obs: determine o dominio, as raizes, intersecção com { }^{0} eixo y , assíntota horizontal e vertical). (Valor: 2,0 pontos)
y=f(x)=\frac{2 x-3}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
y = f(x) = \frac{2x-3}{x-1}
Precisamos determinar: domínio, raízes (zeros), interseção com o eixo y, assíntotas vertical e horizontal e depois usar essas informações para descrever a forma geral do gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não zere:
x-1 \neq 0
Logo,
\text{Dom}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

As raízes da função vêm de
2x-3=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{3}{2}.
Portanto, o gráfico cruza o eixo x em \bigl(\tfrac{3}{2},0\bigr).

Passo 4

A interseção com o eixo y obtém-se em x=0:
f(0)=\frac{2\cdot0-3}{0-1}=\frac{-3}{-1}=3.
Então o ponto é (0,3).

Passo 5

A assíntota vertical ocorre onde o denominador anula, isto é,
x=1.

Passo 6

Como o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes líderes:
y=\frac{2}{1}=2.

Passo 7

Para ver a curva como uma hipérbole deslocada, escrevemos
f(x)=\frac{2x-3}{x-1} =2+\frac{-1}{x-1} =2-\frac{1}{x-1}.
Isso mostra que o “centro” da hipérbole fica em (1,2) e as assíntotas são x=1 e y=2.

Passo 8

Analisando o sinal em cada ramo:
  • Se x>1, então x-1>0. Para 1<x<\tfrac32, o numerador 2x-3<0, então f(x)<0; para x>\tfrac32, f(x)>0. O ramo à direita de x=1 vem de -\infty (ao passar por x\to1^+) sobe, cruza em \bigl(\tfrac32,0\bigr) e tende a y=2 por baixo.
  • Se x<1, então x-1<0 e, como para todo x<1 temos 2x-3<0, o quociente é positivo. O ramo à esquerda de x=1 vai de +\infty (em x\to1^-) decresce, passa por (0,3) e tende a y=2 por cima.

Resposta

Domínio: (-\infty,1)\cup(1,\infty)
Raiz: x=\tfrac{3}{2} em \bigl(\tfrac{3}{2},0\bigr)
Interseção com y: (0,3)
Assíntota vertical: x=1
Assíntota horizontal: y=2
Gráfico: hipérbole com centro em (1,2), ramos nos quadrantes determinados acima, cruzando (0,3) e \bigl(\tfrac32,0\bigr).

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