(2 pontos) Obtenha a aproximação de
com 4 casas decimais através das séries de MacLaurin.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
usando séries de Maclaurin. Vamos expandir
, multiplicar por
, integrar termo a termo e usar o critério de série alternante para controlar o erro e obter quatro casas decimais.
Passo 2
A série de Maclaurin de
é
Multiplicando por
, obtemos
Passo 3
Integramos de
a
termo a termo:
Passo 4
Calculamos os primeiros termos e as somas parciais
:
n :
n
n
:
n
:
n
:
n
(próximo termo):
Passo 5
A série é alternante com termos de módulo decrescente. Pelo critério de Leibniz, o erro ao truncar após
é menor que
, o que garante estabilidade em quatro casas decimais. Assim,