(2 pontos) Obtenha a aproximação de \int_{0}^{1} x \cos (x) d x com 4 casas decimais através das séries de MacLaurin.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1} x\cos(x)\,dx
usando séries de Maclaurin. Vamos expandir \cos(x), multiplicar por x, integrar termo a termo e usar o critério de série alternante para controlar o erro e obter quatro casas decimais.

Passo 2

A série de Maclaurin de \cos(x) é
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
Multiplicando por x, obtemos
x\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n)!}.

Passo 3

Integramos de 0 a 1 termo a termo:
\int_{0}^{1}x\cos(x)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}\int_{0}^{1}x^{2n+1}dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!\,(2n+2)}.

Passo 4

Calculamos os primeiros termos e as somas parciais S_k:
n =0:
a_{0}=\frac{1}{0!\cdot2}=\frac12=0{,}5,\quad S_{0}=0{,}5.
n =1:
a_{1}=-\frac{1}{2!\cdot4}=-\frac18=-0{,}125,\quad S_{1}=0{,}375.
n =2:
a_{2}=\frac{1}{4!\cdot6}=\frac{1}{144}\approx0{,}00694444,\quad S_{2}\approx0{,}38194444.
n =3:
a_{3}=-\frac{1}{6!\cdot8}=-\frac{1}{5760}\approx-0{,}00017361,\quad S_{3}\approx0{,}38177083.
n =4 (próximo termo):
|a_{4}|=\frac{1}{8!\cdot10}=\frac{1}{403200}\approx2{,}48\times10^{-6}.

Passo 5

A série é alternante com termos de módulo decrescente. Pelo critério de Leibniz, o erro ao truncar após n=3 é menor que |a_{4}|\approx2{,}5\times10^{-6}, o que garante estabilidade em quatro casas decimais. Assim,
\int_{0}^{1}x\cos(x)\,dx\approx S_{3}=0{,}38177083\approx0{,}3818.

Resposta

0,3818

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