( 3,0 \mathrm{pt} ) Uma amostra de 2,0 \mathrm{~L} de um gás monoatômico, confinado em um cilindro, realiza um ciclo fechado. O gás está inicialmente a 1,0 \mathrm{~atm} e 300 K . Primeiro, sua pressão é quadruplicada a volume constante. Então, expande-se adiabaticamente até sua pressão original. Finalmente, o gás é comprimido isobaricamente para seu volume original a) Trace o diagrama PV deste ciclo. b) Encontre a temperatura do gás no início da expansão adiabática a o volume do gás ao final da expansão adiabática. c) Qual foi o trabalho resultante realizado sobre o gás para este ciclo?

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo fechado executado por um gás monoatômico ideal, inicialmente em P_{1}=1{,}0\\ \mathrm{atm}, V_{1}=2{,}0\\ \mathrm{L} e T_{1}=300\\ \mathrm{K}. O ciclo consiste em:
1. Aquecimento isocórico até quadruplicar a pressão.
2. Expansão adiabática até a pressão voltar a 1{,}0\\ \mathrm{atm}.
3. Compressão isobárica até retornar ao volume inicial.
Para resolver iremos usar a lei dos gases ideais, as relações para processos adiabáticos ( P\,V^{\gamma}= const, T\,V^{\gamma-1}= const) com \gamma=5/3, e o cálculo de trabalho em cada etapa.

Passo 2

Determinar a quantidade de mols e o estado após o aquecimento isocórico (etapa 1\to 2).
Da lei dos gases ideais,
n=\frac{P_{1}V_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{(1{,}0\\ \mathrm{atm})(2{,}0\\ \mathrm{L})}{(0{,}08206\\ \mathrm{L\\ atm/mol\\ K})(300\\ \mathrm{K})} \approx0{,}0813\\ \mathrm{mol}.
Como o volume é constante e a pressão quadruplica ( P_{2}=4P_{1}),
T_{2}=T_{1}\,\frac{P_{2}}{P_{1}}=300\cdot4=1200\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Encontrar V_{3} e T_{3} na expansão adiabática ( 2\to 3), sabendo que P_{3}=P_{1}.
Usamos P_{2}V_{2}^{\gamma}=P_{3}V_{3}^{\gamma}, logo
V_{3} =V_{2}\Bigl(\frac{P_{2}}{P_{3}}\Bigr)^{1/\gamma} =2{,}0\\ \mathrm{L}\;(4)^{3/5} \approx4{,}59\\ \mathrm{L}.
Para T_{3}, aplicamos T_{2}V_{2}^{\gamma-1}=T_{3}V_{3}^{\gamma-1}, resultando
T_{3} =1200\\ \mathrm{K}\,\bigl(\tfrac{2{,}0}{4{,}59}\bigr)^{2/3} \approx688\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o trabalho em cada etapa e somar.
– Etapa 1\to 2 (isochórica):
W_{12}=\int_{V_{1}}^{V_{1}}P\,dV=0.
– Etapa 2\to 3 (adiabática):
W_{23} =\frac{P_{3}V_{3}-P_{2}V_{2}}{1-\gamma} =\frac{1\cdot4{,}59-4\cdot2{,}0}{1-\tfrac{5}{3}}\\ \mathrm{atm\cdot L} =\frac{-3{,}41}{-2/3}\\ \mathrm{atm\cdot L} \approx5{,}11\\ \mathrm{atm\cdot L}.
Convertendo para joules ( 1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}):
W_{23}\approx5{,}11\times101{,}325\approx517\\ \mathrm{J}
(positivo, trabalho realizado pelo gás).
– Etapa 3\to 1 (isobárica, P=1\\ \mathrm{atm}):
W_{31} =P\,(V_{1}-V_{3}) =1\,(2{,}0-4{,}59)\\ \mathrm{L\cdot atm} =-2{,}59\\ \mathrm{atm\cdot L} \approx-2{,}59\times101{,}325 \approx-263\\ \mathrm{J}.
O trabalho total realizado pelo gás no ciclo é
W_{\text{ciclo}} =W_{12}+W_{23}+W_{31} =0+517+(-263)=254\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Interpretando sinais: W_{\text{ciclo}}=+254\\ \mathrm{J} é o trabalho líquido realizado pelo gás. O enunciado pede o trabalho resultante realizado sobre o gás, que é o sinal oposto:
W_{\text{sobre}}=-254\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) Diagrama P V: parte vertical de (2{,}0\\ \mathrm{L},1{,}0\\ \mathrm{atm}) a (2{,}0\\ \mathrm{L},4{,}0\\ \mathrm{atm}), depois curva adiabática suavemente decrescente até (4{,}59\\ \mathrm{L},1{,}0\\ \mathrm{atm}), por fim reta horizontal retornando a (2{,}0\\ \mathrm{L},1{,}0\\ \mathrm{atm}).
b) T_{2}=1200\\ \mathrm{K}, V_{3}\approx4{,}59\\ \mathrm{L}.
c) Trabalho resultante sobre o gás: -2{,}54\times10^{2}\\ \mathrm{J}.

Exercícios relacionados