Para cada subespaço H nos exercícios 1 a 6, determine uma base de H e sua dimensão.
H=(a, b, c, d) ; a-3 b+c=0.

Passo 1

O enunciado pede base e dimensão do subespaço
H = (a,b,c,d)in R^4 mid a - 3b + c = 0
Esse conteúdo envolve resolver uma restrição linear e achar a representação paramétrica de H.

Passo 2

A condição a - 3b + c = 0 implica
a = 3b - c
Assim podemos escolher b, c e d como parâmetros livres.

Passo 3

Sejam b = s, c = t e d = u. Então
(a,b,c,d) = (3s - t,;s,;t,;u) = s,(3,1,0,0) ;+; t,(-1,0,1,0) ;+; u,(0,0,0,1)
Logo H é o conjunto de todas as combinações lineares desses três vetores.

Passo 4

Os vetores
v1 = (3,1,0,0), v2 = (-1,0,1,0), v3 = (0,0,0,1)
são linearmente independentes, pois cada um tem pelo menos uma coordenada não nula em posição distinta dos demais. Assim formam uma base de H.

Passo 5

Como a base tem três vetores, concluímos que
dim(H)=3

Resposta

Uma base de H é
(3,1,0,0),;(-1,0,1,0),;(0,0,0,1)
e dim(H)=3.

Exercícios relacionados