Para cada subespaço H nos exercícios 1 a 6, determine uma base de H e sua dimensão.
H=(a+b, 2 a, 3 a-b, 2 b) ; a, b in R.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
H = (a+b,;2a,;3a - b,;2b)mid a,binR
do espaço R^4. Precisamos encontrar um conjunto de vetores que gere H e seja linearmente independente (base) e determinar a dimensão de H.

Passo 2

Para expor a dependência em a e b, escrevemos o vetor genérico como combinação linear:
(a+b,;2a,;3a - b,;2b) = a,(1,2,3,0);+;b,(1,0,-1,2)

Passo 3

Os vetores
u = (1,2,3,0), v = (1,0,-1,2)
são claramente independentes (nenhum múltiplo escalar de u v). Assim eles geram todo H e formam uma base. Logo
dim(H) = 2

Resposta

Uma base de H é
l(1,2,3,0),;(1,0,-1,2)r,
e dim(H)=2.

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