Para cada subespaço H nos exercícios 1 a 6, determine uma base de H e sua dimensão.
H=(x, y, x) ; x, y in R.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
H=(x,y,x)mid x,yinRsubseteqR^3
e pede uma base de H e sua dimensão. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais em R^n: para achar uma base, escrevemos um elemento genérico de H como combinação linear de vetores candidatos.

Passo 2

Seja (x,y,x)in H. Podemos fatorar os parâmetros x e y assim:
(x,y,x) = x,(1,0,1);+;y,(0,1,0)

Passo 3

Os vetores
v1=(1,0,1), v2=(0,1,0)
geram H. Para ver que são linearmente independentes, suponha
a,v1 + b,v2 = (0,0,0)
Isso dá o sistema
(a,,b,,a) = (0,0,0),
logo a=0 e b=0. Portanto v1,v2 é uma base de H.

Passo 4

A dimensão de H é o número de vetores na base escolhida, isto é,
dim(H) = 2

Resposta

Uma base de H é (1,0,1),,(0,1,0) e dim(H)=2.

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