Para cada A in M2 times 2 dada abaixo, considere o subespaço W:=X ; A X=X A de M2 times 2 (exercício 7). Encontre uma base para W, sendo:
A=(ll1 & 0 1 & 1)

Passo 1

O enunciado pede o espaço
W = X in M2 times 2 mid A , X = X , A
onde
A = 1 & 0 1 & 1
O conteúdo é achar todas as matrizes X que comutam com A, isto é, resolver a equação matricial A , X = X , A.

Passo 2

Seja
X = a & b c & d
uma matriz genérica de M2 times 2. Vamos escrever A , X e X , A.

Passo 3

Calculemos
A , X = 1 & 0 1 & 1 a & b c & d = 1cdot a + 0cdot c & 1cdot b + 0cdot d [4pt] 1cdot a + 1cdot c & 1cdot b + 1cdot d = a & b [4pt] a+c & b+d ,
e
X , A = a & b c & d 1 & 0 1 & 1 = acdot1 + bcdot1 & acdot0 + bcdot1 [4pt] ccdot1 + dcdot1 & ccdot0 + dcdot1 = a+b & b [4pt] c+d & d
]

Passo 4

Impondo A,X = X,A, igualamos entradas correspondentes:
1) ,(1,1): a = a + b ;Longrightarrow;b=0 2) (1,2): b = b ;sem nova informação.
3) (2,1): a + c = c + d ;Longrightarrow;a = d 4) (2,2): b + d = d ;Longrightarrow;b=0 (já obtido).
Logo as condições são
b = 0, d = a, a,c livres

Passo 5

A forma geral de X in W é
X = a & 0 c & a = a1 & 0 0 & 1 + c0 & 0 1 & 0
Assim dim W = 2 e uma base natural é
1 & 0 0 & 1, 0 & 0 1 & 0

Resposta

Uma base para W é
1 & 0 0 & 1, 0 & 0 1 & 0

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