Encontre uma base para o espaço vetorial
(exercício 4) dos polinômios reais de grau
. Qual a dimensão desse espaço?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma base do espaço vetorial
dos polinômios reais de grau no máximo
e determinar a dimensão desse espaço. Para isso vamos usar o fato de que todo polinômio de grau
pode ser escrito como combinação linear de potências de
.
Passo 2
Mostramos primeiro que a família
gera
. De fato, seja
um polinômio qualquer em
. Claramente
ou seja,
é combinação linear de elementos de
.
Passo 3
Agora verificamos a independência linear de
. Se existirem escalares
tais que
para todo
, então o polinômio à esquerda é identicamente zero, o que só ocorre se
. Logo
é linearmente independente.
Passo 4
Como
é geradora e linearmente independente, ela é uma base de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base finita, portanto
Resposta
Uma base é
e
.