Encontre uma base para o espaço vetorial P5 (exercício 4) dos polinômios reais de grau <= 5. Qual a dimensão desse espaço?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do espaço vetorial P5 dos polinômios reais de grau no máximo 5 e determinar a dimensão desse espaço. Para isso vamos usar o fato de que todo polinômio de grau <=5 pode ser escrito como combinação linear de potências de x.

Passo 2

Mostramos primeiro que a família
B = ,1,;x,;x^2,;x^3,;x^4,;x^5
gera P5. De fato, seja
p(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + a4 x^4 + a5 x^5
um polinômio qualquer em P5. Claramente
p(x) = a0cdot1 + a1cdot x + a2cdot x^2 + a3cdot x^3 + a4cdot x^4 + a5cdot x^5,
ou seja, p é combinação linear de elementos de B.

Passo 3

Agora verificamos a independência linear de B. Se existirem escalares c0,dots,c5 tais que
c0cdot1 + c1cdot x + c2cdot x^2 + c3cdot x^3 + c4cdot x^4 + c5cdot x^5 = 0
para todo x, então o polinômio à esquerda é identicamente zero, o que só ocorre se c0 = c1 = cdots = c5 = 0. Logo B é linearmente independente.

Passo 4

Como B é geradora e linearmente independente, ela é uma base de P5. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base finita, portanto
dim(P5) = |B| = 6

Resposta

Uma base é
,1,;x,;x^2,;x^3,;x^4,;x^5,
e dim(P5) = 6.

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