Para cada A in M2 times 2 dada abaixo, considere o subespaço W:=X ; A X=X A de M2 times 2 (exercício 7). Encontre uma base para W, sendo:
A=(lla & 0 0 & a)

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W = X in M2times 2 mid A X = X A
quando
A = a & 0[6pt]0 & a
Isso é um problema de encontrar todas as matrizes que comutam com A.]

Passo 2

Vamos escrever uma matriz genérica
X = x11 & x12[6pt]x21 & x22
e calcular
A,X = a & 0[3pt]0 & a x11 & x12[3pt]x21 & x22 = a,x11 & a,x12[3pt]a,x21 & a,x22 = a,X,
X,A = x11 & x12[3pt]x21 & x22 a & 0[3pt]0 & a = a,x11 & a,x12[3pt]a,x21 & a,x22 = a,X ]

Passo 3

Como A,X = aX = X,A para qualquer escolha de x11,x12,x21,x22, não há restrição sobre os coeficientes de X. Logo
W = M2times2

Passo 4

O espaço M2times 2 tem dimensão 4. Uma base natural é a base canônica formada por
E11 = 1 & 0[3pt]0 & 0, E12 = 0 & 1[3pt]0 & 0, E21 = 0 & 0[3pt]1 & 0, E22 = 0 & 0[3pt]0 & 1 ]

Resposta

Uma base para W é
lE11,,E12,,E21,,E22r

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