Explique como a constante de tempo ( \mathrm{Rf}^{*} \mathrm{C} 1 ) do circuito derivativo afeta a amplitude da onda de saída.

Passo 1

O enunciado pergunta como a constante de tempo \tau = R_{f} \, C_{1}
afeta a amplitude da saída de um circuito derivativo. O conteúdo aqui é a resposta em frequência de um derivador ideal, que se obtém via função de transferência em s e depois em regime senoidal.

Passo 2

Num derivador ideal em configuração inversora com capacitor de entrada C_{1} e resistor de realimentação R_{f}, a função de transferência é
H(s) \;=\; \frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)} \;=\;-\,R_{f}\,C_{1}\;s \;=\;-\,\tau\,s.
Isso mostra que o circuito multiplica a derivada de V_{\text{in}} por \tau.

Passo 3

Para uma entrada senoidal \;V_{\text{in}}(t)=V_{m}\,\sin(\omega t),
temos
\frac{dV_{\text{in}}}{dt} =V_{m}\,\omega\,\cos(\omega t) \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{out}}(t) =-\,\tau\,\frac{dV_{\text{in}}}{dt} =-\,\tau\,V_{m}\,\omega\,\cos(\omega t).
Logo, a amplitude da saída é
|V_{\text{out}}| \;=\;\tau\,\omega\,V_{m}.

Passo 4

Na expressão |V_{\text{out}}|=\tau\,\omega\,V_{m}, tanto \omega (ou f=\omega/(2\pi)) quanto V_{m} são dados pelo sinal de entrada. Assim, se você aumentar \tau a saída cresce proporcionalmente; se reduzir \tau, a saída cai na mesma proporção.

Passo 5

Além disso, \tau define a frequência de transição em que o ganho é unitário:
\omega_{c}=\frac{1}{\tau} \quad\bigl(\text{ou }f_{c}=\tfrac{1}{2\pi\,\tau}\bigr).
Para \omega\ll\omega_{c} a saída fica atenuada |H|\ll1 e para \omega\gg\omega_{c} cresce linearmente |H|\approx\omega\tau até os limites práticos do amplificador.

Resposta

A amplitude da saída de um derivador para sinal senoidal de frequência \omega é
|V_{\text{out}}| = \tau\,\omega\,|V_{\text{in}}|.
Portanto, quanto maior for \tau = R_{f}C_{1}, maior será a amplitude da onda de saída para uma mesma frequência e amplitude de entrada.

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