Discuta o papel da constante de tempo na determinação da resposta de frequência do derivador, especialmente no seu comportamento como um filtro passa-altas. O derivador amplifica sinais de alta frequência porque a reatância capacitiva do capacitor de entrada diminui com o aumento da frequência, aumentando o ganho do circuito.

Passo 1

O enunciado nos pede discutir como a constante de tempo \tau de um derivador prático influencia sua resposta em frequência, destacando seu papel de filtro passa-altas. Para isso, vamos usar o circuito em que o capacitor de entrada C está em série com um resistor R, e há um resistor de realimentação R_f.

Passo 2

Vamos obter a função de transferência em função de s. A impedância do ramo de entrada é
Z_{\text{in}} = R + \frac{1}{sC}
e a impedância de realimentação é Z_{f}=R_{f}. Num amplificador inversor,
H(s)\;=\;\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} =-\frac{Z_{f}}{Z_{\text{in}}} =-\frac{R_{f}}{R + \tfrac{1}{sC}} =-\frac{R_{f}\,sC}{1 + sRC}\,.

Passo 3

Definindo a constante de tempo
\tau = R\,C
e o ganho de alto-nível
K = \frac{R_{f}}{R}\,,
podemos reescrever
H(s) = -K\;\frac{s\tau}{1 + s\tau}\,.
Essa forma é típica de um filtro passa-altas de primeira ordem com ganho estático K em altas frequências.

Passo 4

Para analisar a resposta em frequência, substituímos s = j\omega e calculamos o módulo:
\bigl|H(j\omega)\bigr| = K\;\frac{\omega\tau}{\sqrt{1 + (\omega\tau)^{2}}}\,.
  • Para \omega\ll 1/\tau: \omega\tau\ll1, então \bigl|H(j\omega)\bigr|\approx K\,\omega\tau, ou seja, ganho cresce a +20 dB/década (comportamento de diferenciador).
  • Para \omega\gg 1/\tau: \omega\tau\gg1, então \bigl|H(j\omega)\bigr|\approx K, o ganho se torna constante.

Passo 5

O ponto de transição entre as duas regiões ocorre em
\omega_{c} = \frac{1}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad f_{c} = \frac{1}{2\pi\,\tau} = \frac{1}{2\pi\,R\,C}\,.
Esse é o ponto em que a reatância capacitiva \tfrac{1}{\omega C} cai o suficiente para que o circuito comece a “liberar” as componentes de alta frequência, comportando-se como passa-altas.

Passo 6

Conforme \omega aumenta, a reatância do capacitor de entrada X_{C}=1/(\omega C) diminui, fazendo com que Z_{\text{in}} se aproxime de R e o ganho |H| se aproxime de K=R_{f}/R. É essa característica que amplia as altas frequências (abaixo de 1/\tau o ganho cresce com \omega, acima de 1/\tau ele se estabiliza), prevenindo ganho excessivo a altíssimas frequências e ruído.

Resposta

A constante de tempo \tau=RC define a frequência de corte \omega_{c}=1/\tau de um filtro passa-altas de primeira ordem, fazendo com que para \omega<\omega_{c} o circuito atue como diferenciador propriamente dito ( 20 dB/década) e para \omega>\omega_{c} o ganho se estabilize em R_{f}/R. À medida que a frequência cresce, a reatância capacitiva diminui, reduzindo a impedância de entrada e elevando o ganho até esse patamar.

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