Para cada transformação abaixo, determine bases para o núcleo e a imagem:
(c) T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x+y, x+y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y)=(x+y,x+y).
O que pede: determinar bases para o núcleo de T (ou seja, \ker(T)) e para a imagem de T (ou seja, \operatorname{Im}(T)). Vou listar também as informações relevantes que já temos:
  • A regra de T mostra que as duas coordenadas da imagem são iguais: ambas valem x+y.
  • Não há outras condições numéricas; x e y são variáveis reais quaisquer.

Passo 2

Lembrete rápido (o que significa cada conjunto que pedimos):
  • O núcleo é o conjunto de vetores que vão para o vetor nulo:
\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0)\}.
  • A imagem é o conjunto de todos os vetores que aparecem como T(x,y) quando (x,y) varia em \mathbb{R}^2:
\operatorname{Im}(T)=\{T(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (x,y)\in\mathbb{R}^2\}.
Para encontrar uma base de cada um, costumo: resolver as equações que definem o núcleo; para a imagem, expressar T(x,y) em forma de combinação linear com um parâmetro e identificar um gerador (ou geradores) e verificar independência.

Passo 3

Calcular \ker(T). Por definição precisamos resolver
T(x,y)=(0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad (x+y,x+y)=(0,0).
Isso dá a equação (as duas componentes dão a mesma condição)
x+y=0.
Portanto y=-x. Assim todo vetor do núcleo tem a forma
(x,y)=(x,-x)=x(1,-1),
com x\in\mathbb{R}. Logo o núcleo é a reta gerada pelo vetor (1,-1), isto é,
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1)\}.

Passo 4

Verificar que \{(1,-1)\} é uma base de \ker(T). Explicando passo a passo:
  • Gera: já escrevemos qualquer elemento do núcleo como múltiplo escalar de (1,-1), então gera todo o núcleo.
  • Linearmente independente: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente.
    Portanto \{(1,-1)\} é uma base de \ker(T). A dimensão do núcleo é 1.

Passo 5

Calcular \operatorname{Im}(T). Para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2 escrevemos
T(x,y)=(x+y,x+y).
Seja t=x+y. Então
T(x,y)=t(1,1),
com t\in\mathbb{R} variando livremente (pois x e y variam livremente e t pode ser qualquer número real). Assim a imagem é a reta gerada por (1,1):
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1)\}.

Passo 6

Verificar que \{(1,1)\} é uma base de \operatorname{Im}(T):
  • Gera: qualquer vetor da imagem é t(1,1), então é gerado por (1,1).
  • Linearmente independente: um único vetor não nulo é independente.
    Portanto \{(1,1)\} é uma base da imagem. A dimensão da imagem é 1.

Passo 7

Consistência com o teorema da dimensão (Rank-Nullity): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 vale
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(\mathbb{R}^2)=2.
Aqui \dim(\ker(T))=1 e \dim(\operatorname{Im}(T))=1, somando 2, portanto está consistente.

Passo 8

Dica rápida para a prova: quando as componentes da imagem são iguais (ou proporcionais), é comum que a imagem seja gerada por um só vetor do tipo (1,1) ou (a,b) com relação simples. Para o núcleo, iguale as componentes a zero e resolva o sistema linear resultante; busque escrever a solução em forma de combinações lineares para identificar geradores.

Resposta

Base do núcleo: \{(1,-1)\}
Base da imagem: \{(1,1)\}

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