Para cada transformação abaixo, determine bases para o núcleo e a imagem:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
O que pede: determinar bases para o núcleo de
(ou seja,
) e para a imagem de
(ou seja,
). Vou listar também as informações relevantes que já temos:
- A regra de
mostra que as duas coordenadas da imagem são iguais: ambas valem . - Não há outras condições numéricas;
e são variáveis reais quaisquer.
Passo 2
Lembrete rápido (o que significa cada conjunto que pedimos):
- O núcleo é o conjunto de vetores que vão para o vetor nulo:
- A imagem é o conjunto de todos os vetores que aparecem como
quando varia em :
Para encontrar uma base de cada um, costumo: resolver as equações que definem o núcleo; para a imagem, expressar
em forma de combinação linear com um parâmetro e identificar um gerador (ou geradores) e verificar independência.
Passo 3
Calcular
. Por definição precisamos resolver
Isso dá a equação (as duas componentes dão a mesma condição)
Portanto
. Assim todo vetor do núcleo tem a forma
com
. Logo o núcleo é a reta gerada pelo vetor
, isto é,
Passo 4
Verificar que
é uma base de
. Explicando passo a passo:
- Gera: já escrevemos qualquer elemento do núcleo como múltiplo escalar de
, então gera todo o núcleo. - Linearmente independente: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente.
Portantoé uma base de . A dimensão do núcleo é .
Passo 5
Calcular
. Para qualquer
escrevemos
Seja
. Então
com
variando livremente (pois
e
variam livremente e
pode ser qualquer número real). Assim a imagem é a reta gerada por
:
Passo 6
Verificar que
é uma base de
:
- Gera: qualquer vetor da imagem é
, então é gerado por . - Linearmente independente: um único vetor não nulo é independente.
Portantoé uma base da imagem. A dimensão da imagem é .
Passo 7
Consistência com o teorema da dimensão (Rank-Nullity): para uma transformação linear
vale
Aqui
e
, somando
, portanto está consistente.
Passo 8
Dica rápida para a prova: quando as componentes da imagem são iguais (ou proporcionais), é comum que a imagem seja gerada por um só vetor do tipo
ou
com relação simples. Para o núcleo, iguale as componentes a zero e resolva o sistema linear resultante; busque escrever a solução em forma de combinações lineares para identificar geradores.
Resposta
Base do núcleo:
Base da imagem: