Para cada transformação linear
abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem.
, tal que
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida pelos valores
Vamos usar linearidade para achar a lei geral
T(at^2+bt+c) , depois determinar
ker T e uma base de
Im T .
Passo 2
Para descobrir
T(1) note que
-2= -2cdot1 , logo
Como
t^2-1=t^2-1cdot1 , temos
Passo 3
Para um polinômio genérico
p(t)=a,t^2+b,t+c , pela linearidade
Substituindo as matrizes encontradas,
Passo 4
O núcleo é o conjunto dos
Da terceira equação vem e
. Logo só há a solução trivial, então
Passo 5
A imagem é o subespaço gerado pelas matrizes
T(t^2),T(t),T(1) . Uma base conveniente é
que são linearmente independentes em
M2(R) .
Resposta
Lei de definição: para
p(t)=a,t^2+b,t+c ,
Uma base de