Para cada transformação linear T abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem.
T: P2(R) M2(R), tal que
T(t^2-1)=(ll 1 & 0 2 & 0 ), T(t)=(ll 0 & 1 0 & 1 ), e T(-2)=(rr -2 & 0 0 & -2 )

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon P2(R)to M2(R)
definida pelos valores
T(t^2-1)=1&02&0, T(t)=0&10&1, T(-2)=-2&00&-2
Vamos usar linearidade para achar a lei geral T(at^2+bt+c), depois determinar ker T e uma base de Im T.

Passo 2

Para descobrir T(1) note que -2= -2cdot1, logo
T(-2)= -2,T(1)=-2&00&-2 Longrightarrow T(1)=1&00&1
Como t^2-1=t^2-1cdot1, temos
T(t^2-1)=T(t^2)-T(1) ;Longrightarrow; T(t^2)=T(t^2-1)+T(1) =1&02&0 +1&00&1 =2&02&1

Passo 3

Para um polinômio genérico p(t)=a,t^2+b,t+c, pela linearidade
T(p)=a,T(t^2)+b,T(t)+c,T(1)
Substituindo as matrizes encontradas,
T(p) =a2&02&1 +b0&10&1 +c1&00&1 = 2a+c & b 2a & a+b+c

Passo 4

O núcleo é o conjunto dos
Da terceira equação vem e . Logo só há a solução trivial, então

Passo 5

A imagem é o subespaço gerado pelas matrizes T(t^2),T(t),T(1). Uma base conveniente é
l 2&02&1,; 0&10&1,; 1&00&1 r,
que são linearmente independentes em M2(R).

Resposta

Lei de definição: para p(t)=a,t^2+b,t+c,
T(p)=2a+c & b2a & a+b+c
ker T=0.
Uma base de Im T é
2&02&1,, 0&10&1,, 1&00&1

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