Para cada transformação linear
abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem.
, tal que
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
com valores em uma base canônica de :
com valores em uma base canônica de
Queremos achar
- a lei de definição de
para um polinômio genérico , - o núcleo
, - uma base da imagem
.
Passo 2
Por linearidade, para
vale
Somando coordenadas obtemos
Passo 3
O núcleo é o conjunto de
tais que
. Da primeira componente vem
Da segunda componente, com
, temos
Logo todo polinômio no núcleo é da forma
e
Passo 4
A imagem é gerada pelos vetores
Note que
, então basta escolher dois independentes, por exemplo
Assim
Resposta
Lei de definição: para
,
Base da imagem: