Para cada transformação linear T abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem.
T: P2(R) R^2, tal que T(t^2)=(5,7), T(t)=(0,5) e T(1)=(0,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
Tcolon P2(R)toR^2
com valores em uma base canônica de P2(R):
T(t^2)=(5,7), T(t)=(0,5), T(1)=(0,1)
Queremos achar
  1. a lei de definição de T para um polinômio genérico p(t)=a,t^2+b,t+c,
  2. o núcleo ker(T),
  3. uma base da imagem Im(T).

Passo 2

Por linearidade, para p(t)=a,t^2+b,t+c vale
T(p)=a,T(t^2)+b,T(t)+c,T(1) =a,(5,7)+b,(0,5)+c,(0,1)
Somando coordenadas obtemos
T(a,t^2+b,t+c) =l(5a,;7a+5b+cr)

Passo 3

O núcleo é o conjunto de tais que . Da primeira componente vem
Da segunda componente, com , temos
Logo todo polinômio no núcleo é da forma
e

Passo 4

A imagem é gerada pelos vetores
Note que , então basta escolher dois independentes, por exemplo
Assim

Resposta

Lei de definição: para ,

Base da imagem:

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