Para cada transformação linear T abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem.
T: R^2 R^3, tal que T(1,2)=(3,-1,5) e T(0,1)=(2,1,-4).

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear
Tcolon R^2toR^3
cuja ação em dois vetores é
T(1,2)=(3,-1,5), T(0,1)=(2,1,-4)
Queremos:
  1. A lei geral T(x,y).
  2. O núcleo ker T.
  3. Uma base de ImT.
Para isso usaremos a linearidade de T e resolveremos a combinação de (x,y) em termos de (1,2) e (0,1), depois equacionaremos T(x,y)=0 e por fim extrairemos uma base da imagem.

Passo 2

Expressamos um vetor genérico (x,y)inR^2 como combinação de (1,2) e (0,1). Buscamos escalares a,b tais que
(x,y)=a,(1,2)+b,(0,1)=(a,2a)+(0,b)=(a,;2a+b)
Igualando componentes:
a = x, 2a + b = y Longrightarrow b = y - 2x

Passo 3

Pela linearidade,
T(x,y) = Tl(a,(1,2)+b,(0,1)r) = a,T(1,2) + b,T(0,1)
Substituindo a=x e b=y-2x,
T(x,y) = x,(3,-1,5) ;+;(y-2x),(2,1,-4)
Agora simplificamos componente a componente:
T1(x,y)&=3x +2(y-2x)= -x+2y, T2(x,y)&=-x +1,(y-2x)= -3x+y, T3(x,y)&=5x -4(y-2x)=13x-4y
Logo a lei de definição é
boxedT(x,y)=(-x+2y,;-3x+y,;13x-4y)

Passo 4

Para achar o núcleo resolvemos
T(x,y)=(0,0,0) Long<=ftrightarrow -x+2y=0, -3x+y=0, 13x-4y=0
Da segunda equação y=3x. Substituindo na primeira dá -x+2(3x)=5x=0, logo x=0 e y=0. A terceira é então satisfeita trivialmente.

Passo 5

Como a única solução é (x,y)=(0,0), temos
ker T=(0,0),
isto é, dimker T=0 e a base de ker T é o conjunto vazio.

Passo 6

A imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores T(1,2) e T(0,1). Como
T(1,2)=(3,-1,5), T(0,1)=(2,1,-4)
são linearmente independentes (não há escalares a,bneq0 com a,(3,-1,5)+b,(2,1,-4)=0 salvo a solução trivial), temos dimImT=2 e podemos escolher como base:
(3,-1,5),;(2,1,-4)

Resposta

Lei de definição:
T(x,y)=(-x+2y,;-3x+y,;13x-4y)
Núcleo:
ker T = (0,0)
Base da imagem:
(3,-1,5),;(2,1,-4)

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