Para cada transformação linear abaixo, determinar a lei de definição, o núcleo e uma base da imagem. , tal que e .
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
cuja ação em dois vetores é
Queremos:
A lei geral .
O núcleo .
Uma base de .
Para isso usaremos a linearidade de e resolveremos a combinação de em termos de e , depois equacionaremos e por fim extrairemos uma base da imagem.
Passo 2
Expressamos um vetor genérico como combinação de e . Buscamos escalares tais que
Igualando componentes:
Passo 3
Pela linearidade,
Substituindo e ,
Agora simplificamos componente a componente:
Logo a lei de definição é
Passo 4
Para achar o núcleo resolvemos
Da segunda equação y=3x. Substituindo na primeira dá -x+2(3x)=5x=0, logo x=0 e y=0. A terceira é então satisfeita trivialmente.
Passo 5
Como a única solução é (x,y)=(0,0), temos
ker T=(0,0),
isto é, dimker T=0 e a base de ker T é o conjunto vazio.
Passo 6
A imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores T(1,2) e T(0,1). Como
T(1,2)=(3,-1,5), T(0,1)=(2,1,-4)
são linearmente independentes (não há escalares a,bneq0 com a,(3,-1,5)+b,(2,1,-4)=0 salvo a solução trivial), temos dimImT=2 e podemos escolher como base: